Linear System Li Zhang Department of Mathematics Tongji University 为 190 Tongji University】 1/19
. . Linear System Li Zhang Department of Mathematics Tongji University (Tongji University) Linear Algebra 1 / 19
Elementary operations Definition 7.0.1 (elementary row operations) (1)分 (2).k1×k (3).片+ (Tongji University) 2/19
Elementary operations . Definition 7.0.1 (elementary row operations) . . (1). ri ↔ rj , (2). k: ri × k, (3). ri + krj (Tongji University) Linear Algebra 2 / 19
row-echelon matrix General form 0. 0 ■* 0,.,000.. 0…000…00☐…* 0·000…00…0·0 Tongji University】 3/19
row-echelon matrix . General form . . . 0. · · ·. 0. . ∗. · · ·. ∗. · · ·. · · ·. · · ·. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. . ∗. · · ·. · · ·. · · ·. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. . · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 0. · · ·. 0. . . (Tongji University) Linear Algebra 3 / 19
M= B (Tongji University) 4/19
A = . 0. · · ·. 0. ?. ∗. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . B. . 0. · · ·. 0. ∗. . . . . . (Tongji University) Linear Algebra 4 / 19
A= B (Tongji University) 4/19
A = . 0. · · ·. 0. . ∗. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . B. . 0. · · ·. 0. ∗. . . . . . (Tongji University) Linear Algebra 4 / 19
0.0 米…米 A= 0.0 0 B 0 (Tongji University) 4/19
A ′ = . 0. · · ·. 0. . ∗. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .B. ′ . 0. · · ·. 0. 0. . . . . . (Tongji University) Linear Algebra 4 / 19
Definition 7.0.2 A matrix is in reduced row-echelon form when any rows of all zeroes (called zero rows)are at the bottom the leading entry in any other row is a I (a leading 1.or pivot 1) each leading I is further to the right than any leading I's above it any column with a leading I has zeroes in the rest of that column. 0…01*…0*…0…* 00001* 0·* 0…000…001…* 0000.00…0…0 Tongji University】 5/19
. Definition 7.0.2 . . A matrix is in reduced row-echelon form when any rows of all zeroes (called zero rows) are at the bottom the leading entry in any other row is a 1 (a leading 1, or pivot 1) each leading 1 is further to the right than any leading 1’s above it any column with a leading 1 has zeroes in the rest of that column. . . . 0. · · ·. 0. 1. ∗. · · ·. 0. ∗. · · ·. 0. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 1. ∗. · · ·. 0. · · ·. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 1. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 0. · · ·. 0. . . (Tongji University) Linear Algebra 5 / 19
A= 0…000…00…☐…* 0…000…00…0…0 (Tongji University) 6/19
A = . 0. · · ·. 0. . ∗. · · ·. ∗. ∗. · · ·. ∗. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. . ∗. · · ·. ∗. · · ·. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. . · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 0. · · ·. 0. . . (Tongji University) Linear Algebra 6 / 19
A= 88这 0…000…00…1…* 0…000…00…0…0 (Tongji University) 6/19
A = . 0. · · ·. 0. 1. ∗. · · ·. ∗. ∗. · · ·. ∗. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 1. ∗. · · ·. ∗. · · ·. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 1. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 0. · · ·. 0. . . (Tongji University) Linear Algebra 6 / 19
A'= 0…000…00……￥ 0…000……00…0…0 (Tongji University) 6/19
A ′ = . 0. · · ·. 0. 1. ∗. · · ·. 0. ∗. · · ·. 0. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 1. ∗. · · ·. 0. · · ·. ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 1. · · ·. ∗. 0. · · ·. 0. 0. 0. · · ·. 0. 0. · · ·. 0. · · ·. 0. . . (Tongji University) Linear Algebra 6 / 19