2008-2009学年一学有《线代我路束专就(B)-】 同济大学课程考核试卷(B卷) 6、设n维向量组士乌…，a,与n维向量组B:月，…，月具有相同的秩r,则下列说法中错 2008—2009学年第一学期 误的是 (4).若x则组与组等价B 命题教师签名： 审核教师签名： ().若组的每个向量都在组书，则组与组等你 (C).若组由组性表出，则组与组等邻 课号： 课名：线性代数B 考试考查：考试 (D).若组(A的陈为，则组与组等价B 此卷选为：期中考试人期终考试()、重考（√）试卷 1212 1323 年级 专业 学号 姓名」 任课教师 7、已知A为m×5库，AB=0,R(A)+R(B)=5,而B=(4,,a:)=2535 题号 三 四 五 七 总分 0111 得分 2646 (往堂：本共七大湿，三大张捕分100分.考的时圆为10分钟.要求出解圆过是晋测不子计分) 侧齐次线性方程组Ax=0的基础解系为 一、填空与选择题（注：均为单选题）(24分) (A).41(B.aa4,(C).42a4(D.43a4 1、设3阶方阵A满足4+-4+2E=A+3=0,则4+4= (001Y 8、设矩阵B=010, 2、已知n维向量r=(L,0,…,0,)了，A=E-a2x',其中a<0,又A=E+ar',则参 矩阵A相似于B,则R(B-E)+R(A-E)=一 (100 数a=_ 3、设n阶方阵A经过若干次初等变换可化为B,则必有」 二.(8分)设4阶方阵A=(a,…,a)，B=(a1+,%2+3,a3+a4,a+),其中 (0.4=间 (B).可逆阵Q使得B=AQ 乌，…，心均为4维向量，己知A=m,求矩阵B的行列式. (C).R(A)=R(B) 铜解r=0Bx=0 4、已知3阶方阵A= 若存在非零矩阵B,使得AB=0,则参数 5、设A,B,C均为n阶方阵，则下列结论中错误的是」 (A).若A则=E均为可逆阵 (B).若A可使，咖 B=C (C).若A可逆，期 BA=CA (D).若AB①则A B=0
2008-2009 学年第一学期《线性代数 B》期末考试试卷（B 卷）--1 同济大学课程考核试卷（B 卷） 2008—2009 学年第一学期 命题教师签名：张莉 审核教师签名：靳全勤 课号： 课名：线性代数 B 考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( √ )试卷 年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 （注意：本试卷共七大题，三大张，满分 100 分．考试时间为 120 分钟.要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空与选择题（注：均为单选题）(24 分) 1、 设 3 阶方阵 A 满足 AE A E A E +=+ =+ = 2 30，则 A E + = 4 _____________. 2、 已知 n 维向量 (1,0, ,0,1) T x = , 2 T A E a xx = − ，其中a < 0 ，又 1 T A E axx − = + ，则参 数 a =_________________. 3 、 设 n 阶方阵 A 经过若干次初等变换可化为 B ， 则 必 有 _____________. ( ). ( ). ( ). ( ) ( ) ( ). 0 0 A A B B Q B AQ C R A R B D Ax Bx = ∃= = = = 可逆阵，使得 与同解 4 、 已知 3 阶方阵 2 1 1 1 1 1 A λ λ λ λ = ，若存在非零矩阵 B ，使得 AB = 0 ， 则参数 λ =____________. 5、 设 ABC , , 均为 n 阶方阵，则下列结论中错误的是_______________. ( ). ( ). ( ). ( ). 0 0 A ABC E A B C B AB AC A B C C AB AC A BA CA D AB A B = = = = = =≠ = 若，则，，均为可逆阵 若，且可逆，则 若，且可逆，则 若，且0，则 6、 设 n 维向量组 1 , A：α α s , 与n 维向量组 1 :,, B β β t 具有相同的秩r ，则下列说法中错 误的是 ________. ( ). ( ). ( ). ( ). ( ) A st A B B A B AB C A B A B D AB r A B 若，=则组与组等价 若组的每个向量都在组中，则组与组等价 若组可由组线性表出，则组与组等价 若组，的秩为，则组与组等价 7、 已知 A 为 m×5阵， AB = 0， RA RB () () 5 + = ，而 1 4 1212 1323 (, , ) 2535 0111 2646 B α α = = ， 则齐次线性方程组 Ax = 0的基础解系为______________. 1 1 4 24 134 ( ). ( ). ( ). ( ). AB C D α αα αα ααα ，，，， 8、 设矩阵 001 010 100 B = ，矩阵 A 相似于 B ，则 RB E RA E ( )( ) −+ −= ________. 二、(8 分)设 4 阶方阵 1 4 A = (, , ) α α ， 1 22 33 44 1 B =+ + + + (, , ,) α αα αα αα α ，其中 1 4 α α , , 均为 4 维向量，已知 A m= ，求矩阵 B 的行列式
200B-2009学年第一学有《残钱代我B肠别束专钱就春(B枣)-2 三、(10分)已知A=-111 矩阵X满足AX=厂+2X,其中是A的伴随阵， 求矩阵X. 五、(15分)设实三元二次型f=(1-a)x2+(1-a)x3+2x号+21+a)xx2, (1)求二次型∫所对应的矩阵A, (2)问参数α取何值时，矩阵A的秩不超过2， (3)当R(4)≤2时，用正交变换x=Py将二次型f化为标准形，并求出正交阵P及标准形. 四、(12分)已知向量组么1= 目日-日 满足什么条件时， (1)向量B能由向量组4，心，a3线性表示，且表示式唯一， (2)向量B不能由向量组4,42,43线性表示， (3)向量B能由向量组41，心，心线性表示，且表示式不唯一，并求出一般表示式
2008-2009 学年第一学期《线性代数 B》期末考试试卷（B 卷）--2 三、(10 分)已知 11 1 11 1 1 11 A − = − − ，矩阵 X 满足 * 1 AX A X2 − = + ，其中 * A 是 A 的伴随阵， 求矩阵 X . 四、(12 分)已知向量组 12 3 2 11 2, 1, 1, 10 5 4 a b b αα α β − − = = = = ，试问参数a b, 满足什么条件时， (1) 向量 β 能由向量组 123 ααα , , 线性表示,且表示式唯一， (2) 向量 β 不能由向量组 123 ααα , , 线性表示， (3) 向量 β 能由向量组 123 ααα , , 线性表示,且表示式不唯一，并求出一般表示式. 五、(15 分)设实三元二次型 2 22 1 2 3 1 2 f a x a x x a xx =− +− + + + (1 ) (1 ) 2 2(1 ) ， (1) 求二次型 f 所对应的矩阵 A ， (2) 问参数 a 取何值时，矩阵 A 的秩不超过 2， (3) 当 R A() 2 ≤ 时，用正交变换 x Py = 将二次型 f 化为标准形，并求出正交阵 P 及标准形
200B-2009学年第一学有《线钱代我踢和束专线就卷(B枣)-3 六、(10分)设V为所有2阶实方阵对于矩阵的加法和数乘构成的线性空间。在V上定义T如 下：对任意A∈V, (11)12 T(4-01401 ()证明：T是V上的一个线性变换， 四r销-095-日小5-日8-0)F陈 (2)但分)已知7是非齐次线性方程组A红=b(b≠0)的一个解向量。乐，…，5，是其对应齐次 线性方程组A红=0的基础解系.证明：几，刀+，…，刀+乐是方程组A红=b解向量组的最 大线性无关组 七、0a:分》已么B分影为风n阶实裤，C-仁） 试证以下命题成立：(I) 若A,B均相似于对角阵，则C也相似于对角阵：（Ⅱ）若A,B均为正交阵，则C也是正交阵： (川)若A,B均为正定库，则C也是正定阵
2008-2009 学年第一学期《线性代数 B》期末考试试卷（B 卷）--3 六、(10 分)设V 为所有 2 阶实方阵对于矩阵的加法和数乘构成的线性空间，在V 上定义T 如 下：对任意 A V∈ ， 11 12 ( ) 01 01 TA A = ， (1) 证明： T 是V 上的一个线性变换， (2) 求T 在V 的基 11 12 21 22 10 01 00 00 ,,, 00 00 10 01 EEEE = = = = 下的矩阵. 七、(1) (12 分) 已知 A B, 分别为 m n, 阶实方阵， 0 0 A C B = ，试证以下命题成立：(Ⅰ) 若 A B, 均相似于对角阵，则C 也相似于对角阵；（Ⅱ)若 A B, 均为正交阵，则C 也是正交阵； （Ⅲ）若 A B, 均为正定阵，则C 也是正定阵. (2) (9 分) 已知η 是非齐次线性方程组 Ax b b = ≠ ( 0) 的一个解向量， 1, , s ξ ξ 是其对应齐次 线性方程组 Ax = 0的基础解系. 证明： 1 , , , ηη ξ η ξ + + s 是方程组 Ax b = 解向量组的最 大线性无关组