第一—章 第一丰习题保 品教、教限与莲袜 一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、 连续与间断 一、 函数 三、 极限 第一章习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数、极限与连续 第一章
一、函数 1.函数的概念 定义：设DcR,自变量x与因变量x)的对应关系。 f:D f(D)CR 定义域 值域 其中f(D)={yy=f(x),xED} 图形： C={(x,y)y=f(x),x∈D} y↑y=f(x) (一般为曲线) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
y y = f (x) x o D 一、 函数 1. 函数的概念 定义: 定义域 值域 图形: ( 一般为曲线 ) 设 自变量x与因变量 f(x)的对应关系。 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.函数的特性 有界性，单调性，奇偶性，周期性 3.反函数 设函数f:D→f(D) 反函数为 f:f(D)->D 4.复合函数 给定函数链f:D1→f(D) g:D→g(D)cD 则复合函数为f。g:D→f[g(D] 5.初等函数 有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数， HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 反函数为 f f D → D − : ( ) 1 4. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 f g : D → f [g(D)] 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
歌设数9-{2 3x+1,x<1 求fLf(x)] x≥1 解： - f(x)<1 x<0 f(x)≥1 3(3x+1)+1 9x+4,x<0 3x+1, 0≤x<1 x, x≥1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 设函数 , , 1 3 1, 1 ( ) + = x x x x f x f [ f (x)] = 3 f (x) +1, f (x) 1 f (x) , f (x) 1 x 0 = 9x + 4 , x 0 3(3x +1) +1 0 x 1 x , x 1 求 f[ f (x)]. 解: 3x +1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数？为什 么 (1)y= sinx-1 不是 (2)y=max{sinx,cosx},x∈[0，] 是 (3)y=arcsinu,u=2+x2 不是 COSX, 提示：2)y={ 0≤x≤牙 sinx, 牙<x≤7 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什 么? sin 1 1 (1) − = x y (2) max sin , cos , [0, ] 2 y = x x x 2 (3) y = arcsin u , u = 2 + x 不是 4 0 cos x, x 4 2 sin x, x 是 不是 提示: (2) y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.下列函数是否为初等函数？为什么？ x,x≥0 or- x≠0 X --, x-1x≠1 =1-vx5,xeR 以上各函数都是初等函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
+ − = 1 , 0 1 , 0 (4) ( ) 3 3 x x x x f x − = 1, 0 1, 0 (2) ( ) x x f x = 4, 1 2, 1 (3) ( ) x x f x , 2 x x = x y o 4 2 1 ⑶ − = + 1, 1 1, 1 3 x x 1 ( 1) 3 2 − − = + x x 1 , 6 = − x o x y 1 −1 ⑵ x 0 x 1 xR 例3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ? − = , 0 , 0 (1) ( ) x x x x f x 2 = x x y 1 ⑷ 以上各函数都是初等函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设f(x)=e,f[o(x】=1-x,且o(x)≥0，求 0(x)及其定义域 .解x)=e:p-e0 由 ep2(w)=1-x 得 p(x)=Vn(1-x),x∈(-o,0] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 设 ( ) , [ ( )] 1 , ( ) 0, 2 f x = e f x = − x x x 且 求 (x) 及其定义域 . 由 得 (x) = ln(1− x) , x(−,0] x 4. 解: x (x) (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
5.已知f()= x-3, x≥8 f[fx+5,x<8 求f(5) 解：f(5)=f[f(10)]=f(10-3)=f(7)=f[f(12)] =f(12-3)=f(9)=6 6.设f(sinx+)=cse2x-cos2x,求fx) sin x 解m+如x- f(x)=x2-3 =(snx+s2-3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
= f[ ] 5. 已知 + − = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 解: f (5) f (10) = f ( ) = f (7) = f [ ] = f ( ) = f (9) = 6 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 解: (sin ) sin 1 2 sin 1 sin 1 2 f x + = + x − x x (sin ) 3 2 sin 1 = + − x x ( ) 3 2 f x = x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、连续与间断 1.函数连续的等价形式 lmf(x)=f(xo)三 lim△y=0 X今X0 △x→>0 (△x=x-x,△y=f(x+△x)-f(xo) ·=f(x0)=f(x0)=f(xo) >0,38>0,当x-x<δ时，有 |f(x)-f(x)<6 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 2.函数间断点 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 HIGH EDUCATION PRESS 000 机动目录上页下页返回结束
二、 连续与间断 1. 函数连续的等价形式 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → ( , ( ) ( ) ) 0 0 0 x = x − x y = f x + x − f x lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x = f x = f x + − 0, 0, , 当 x − x0 时 有 ( ) − ( ) 0 f x f x 2. 函数间断点 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.闭区间上连续函数的性质 有界定理；最值定理；零点定理；介值定理 a(1-cosx) x0 在x=0连续，则a=2,b= e 提示：f(0)=m a(1-cosx) a x->0 2 f(0)=lim In (b+x2)In b x>0 COSx~ a 2 =1=nb HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 . 3. 闭区间上连续函数的性质 例7. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a = , b = . 提示: 2 0 (1 cos ) (0 ) lim x a x f x − = → − − 2 a = 2 2 1 1− cos x ~ x (0 ) lim ln ( ) 2 0 f b x x = + → + + = ln b b a 1 ln 2 = = 2 e 机动 目录 上页 下页 返回 结束