第一—章 §7无穷小的比餐 引例.x→0时，3x,x2,sinx都是无穷小，但 li sin x =0 lim x→03x x→0 3x sin x lim x-→0 可见无穷小趋于0的速度是多样的 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第一章 x → 0时, 3x, x ,sin x 引例 . 2 都是无穷小, x x x 3 lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §7 无穷小的比较
定义.设a《,阝是自变量同一 变化过程中的无穷小 若1imP=0,则称B是比a 高阶的无穷小，记作 X B=o(a) 若1imP=o,则称B是比a低阶的无穷小 若1im2=C≠0， 则称B是的同阶无穷小： 若lim 月=C≠0，则称P是关于α的k阶无穷小 若]im =1,则称B是的等价无穷小，记作x~阝 或阝~a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
lim = C 0, k 定义. lim = 0, 若 则称 是比 高阶的无穷小, = o() lim = , 若 若 若 lim =1, 若 ~ ~ lim = C 0, 或 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如，当x→0时 x3=0(6x2);8 inxx:tanxx arcsinx≈x 又如 1-cosx lim lim 2sin2 x→0 x x-→0 4() 2 故x→0时1-cosx是关于x的二阶无穷小，且 1-cosx ~x2 HIGH EDUCATION PRESS ○QC①8 机动目录上页下页返回结束
例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2sin lim x x→ = 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 = 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, 1− cos x 2 2 1 ～ x 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明当x→0时，1+x-1心x 证：lim 1+x-1 x→0 a”-b”=(a-b)(a"-1+a"-2b+.+b-1） 1+x”-1 lim x>0 x[(1+xy”-1+(1+x”-2++1] =1 ∴.当x→0时，1+x-1~-x n HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ − = n n a b (a −b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n b 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.a心B=阝=a+o(☑) 证：a~B.一1imP=l x 一1im(2-1）=0,即lm -=0 =阝-a=o(C),即阝=a+o(a) 例如，x→0时，sinx~x,tanx~x,故 x→0时，sinx=x+o(x),tanx=x+o(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
～ ～ 定理1. = + o() 证: lim =1 lim( −1) = 0, lim = 0 − 即 − = o(), 即 = + o() 例如, x → 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x → 0 时, tan x = x + o(x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.设a心，p-月，且1im 存在，则 B limlim x 证： lim BB lim lim lim 例如， lim tan 2x lim 2- x→0sin5x x-→0 5 HIGH EDUCATION PRESS Oe0C①8 机动目录上页下页返回结束
定理2 . 设 且 存在 , 则 lim 证: lim = lim = lim lim lim = lim 例如, x x x sin 5 tan 2 lim →0 x x x 5 2 lim →0 = 5 2 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：设对同一变化过程，，B为无穷小，由等价 无穷小的性质，可得简化某些极限运算的下述规则 (1)和差取大规则：若B=o(a),则a士阝~c sinx 例如， lim x+3x lim x 1 x->03x 3 (2) 和差代替规则：若a~',B~B'且B与a不等价， 则a-p~a'-B,且lima-P=limg-E 但c~B时此结论未必成立」 例如，lim tan 2x-sinx lim 2x-x =2 x→0 1+x-1 x-→0 x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价, 则 − ~ − , 例如, x x x x 3 sin lim 3 →0 + x x x 3 lim →0 = 3 1 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 ~ lim lim , − = − 且 但 ~ 时此结论未必成立. 例如, 1 1 tan 2 sin lim 0 + − − → x x x x x x x x 2 1 0 2 lim − = → = 2
(3) 因式代替规则：若~B,且p(x)极限存在或有 界，则 lim ao(x)=lim Bo(x) 例如， lim aresinxsin-=limx.sin=0 x→0 Xx-→0 X 例1.求lim tan x-sinx x→>0 x3 解：原式=1im tanx(1-cosx) X一X x->0 x3 原式 x->0 x3 x号x2 lim x→0 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且(x) 极限存在或有 界, 则 lim (x) = lim (x) 例如, . tan sin lim 3 0 x x x x − → 3 0 lim x x x x − = → 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 2 1 0 lim x x x x = → 例1. 求 0 1 lim sin 1 limarcsin sin 0 0 = = → → x x x x x x 解: 原式
例2.求1im 1+x2)3-1 x>0 cos x -1 解：当x→0时， 0+-1- 原式=im 2 x>0 -x2 3 HIGH EDUCATION PRESS Oe0C①8 机动目录上页下页返回结束
例2. 求 . cos 1 (1 ) 1 lim 3 1 2 0 − + − → x x x 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结 1.无穷小的比较 设“，B对同一自变量的变化过程为无穷小，且C≠O B是α的高阶无穷小 B是α的低阶无穷小 lim C(≠0)， B是的同阶无穷小 1, B是的等价无穷小 lim =C≠0， B是的k阶无穷小 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
内容小结 0 1. 无穷小的比较 设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束