第二章 §3高阶导数 一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、高阶导数的运算法则 一、高阶导数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §3 高阶导数 第二章
一、高阶导数的概念 引例：变速直线运动s=s(t) ds 速度 1y= 即v=s dt dv 加速度 a= 即 a=(s)1 HIGH EDUCATION PRESS Oe0C①8 机动目录上页下页返回结束
一、高阶导数的概念 速度 即 v = s 加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义.若函数y=f(x)的导数y=f'(x)可导，则称 ∫'(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作y”或 ,即 y"=(yy或 d dx 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推， n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作 1 或 y *y dx3 dx4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定义. 若函数 y = f (x) 的导数 y = f (x) 可导, 或 即 y = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1设=ax+b,求y” 解Jy=a,y=0 例2s=sin@t,求s" 解 s'=wcosot; s"=-@2sinot. HIGH EDUCATION PRESS
例1 设y=ax+b，求y″. 解 y′ =a, y″=0. 例2 s =sinωt，求s″. 解 s′= ωcosωt; s″=-ω2 sinωt
例3.设y=a0+a4x+a2x2++anx”,求ym 解：y=a1+2ax+3a3x2++nanx”- y=2-la2+3.2a3x+…+n-1）anx-2 依次类推，可得 y(m)nlan 思考：设y=x“(4为任意常数)，问ym=? (x“)m=4(4-10(4-2)(u-n+I)x“n HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
设 求 解: y = a1 +2a2 x + −1 + n n na x y = 21a2 + a x 3 2 3 2 ( 1) − + + − n n n n a x 依次类推 , n n y n!a ( ) = + 2 3 3 a x 例3. 思考: 设 (为任意常数), y = x 问 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设y=e,求yn) 解：y'=ae，y”=ae,y"=a3e,… y(n)a"eax 特别有：(e*)m=e 例5.设y=ln(1+x),求3) 解：y=1+ y-- +x)2 y=(←121 2 2 (1+x) (1+x)月 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
, , y = a 3 e ax 例4. 设 求 解: 特别有: 解: , ax y = e . (n) y , ax y = ae , 2 ax y = a e n n ax y = a e ( ) x n x e =e ( ) ( ) 例5. 设 求y (3) , 1 1 x y + = , (1 ) 1 2 x y + = − , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y + = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 . (1 ) x = +
二、高阶导数的运算法则 设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数，则 l.(u士v)m=um±vn） 2.(Cu)m-=Cm(C为常数) 3.(u))+mD 21 n=1)(nk1)u(n k! ++(m） 莱布尼兹Leibniz公式 HIGH EDUCATION PRESS 推导目录上页下页返回结束
二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 2! n(n −1) ! ( 1) ( 1) k n n − n − k + + + 莱布尼兹(Leibniz) 公式 设函数 及 推导 目录 上页 下页 返回 结束
例6.y=x2e2x,求y20 解：设u=e2x,v=x2,则 uk=2e2x（k=1,2,…,20) v'=2x,v”=2, vk)=0(k=3,…,20) 代入莱布尼兹公式，得 22282rg2x209"2 =220e2x(x2+20x+95) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例6. 求 解: 设 , , 2 2 u e v x x = = 则 k k x u e ( ) 2 = 2 v = 2x , v = 2 , 0 ( ) = k v 代入莱布尼兹公式 , 得 = (20) y x e 20 2 2 2 x x e 19 2 + 20 2 2x 2 ! 2019 + 2 x e 18 2 2 ( k =1, 2 , , 20 ) (k = 3 , , 20) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7y=sinx+cos6x 解：y=(sin2x)3+(cos2x)3 sin4 x-sin2 xcos2 x+cos4 x (sin2 x+cos2 x)2-3sin2 xcos2 x =1-3sn22x sin2a 2sinacosa 4 5,3 1-cos2a +。c0s4x sin2a 88 2 4"cos(4x+n) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
6 6 例7 y x x = + sin cos x x x x 4 2 2 4 = sin − sin cos + cos sin 2x 4 3 1 2 = − 8 ( ) 3 = n y n 4 + = 3 3 a b (a + b)( ) 2 2 a − ab + b cos(4 ) 2 x + n 2 1 cos 2 sin2 − = 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 sin 2 2sin cos =
内容小结 高阶导数的求法 (1)逐阶求导法 (2)利用归纳法 (3)间接法 利用已知的高阶导数公式 如，（)m=（- n! a+x (a+x)"+l (a- n! (a-x)"+1 (4)利用莱布尼兹公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 ( ) = + 1 (n) a x 1 ( ) ! ( 1) + + − n n a x n ( ) = − 1 (n) a x 1 ( ) ! + − n a x n 如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束