第四章随机变量的数字特征 随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性， 但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件 容易的事情.在许多情况下，并不需要求出随机变量的分 布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的若干个 数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征 本章将讨论随机变量的数学期望、方差、矩以及相关 系数，它们在概率论与数理统计中起着重要的作用. 第一节数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 例1一台机床加工某种零件，已知它加工出优质品、合格品和废品的概 率依次为02、07和0.1.如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利 0.40元和0.20元；如果加工出一件废品则要损失0.10元.问这台机床每加工出 一个零件，平均可获利多少元？ 解以X表示加工出一个零件所获得的利润，则X的分布律为
第四章 随机变量的数字特征 随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性， 但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件 容易的事情．在许多情况下，并不需要求出随机变量的分 布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的若干个 数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征． 本章将讨论随机变量的数学期望、方差、矩以及相关 系数，它们在概率论与数理统计中起着重要的作用． 第一节 数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 例1 一台机床加工某种零件，已知它加工出优质品、合格品和废品的概 率依次为0.2、0.7和0.1．如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利 0.40元和0.20元；如果加工出一件废品则要损失0.10元．问这台机床每加工出 一个零件，平均可获利多少元？ 解 以 X 表示加工出一个零件所获得的利润，则X 的分布律为
-0.10 0.20 0.40 0.1 0.7 0.2 现假设该机床加工n个零件，其中废品n件，合格品n2件，优质品n3 件，这里n1+n2+n3=n.则这n个零件可以获得总利润为 -0.1n1+0.2n2+0.4n3, 平均每个零件可获利为 -0.1.2+0.2.2+0.4.乃. 之 n n 其中，2和分别是事件X=-0.10、{X=0.2}和X=0.40}出现的 n 频率。当n很大时，，2和分别接近于0.1、0.7和02，于是可以期望该 nn n 机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为
X －0.10 0.20 0.40 Y 0.1 0.7 0.2 现假设该机床加工 个零件，其中废品 件，合格品 件，优质品 件，这里 . 则这 个零件可以获得总利润为 ， 平均每个零件可获利为 . 1 2 4 3 − 0.1n + 0.2n + 0. n n n n n n n1 2 3 − 0.1 + 0.2 + 0.4 n1 + n2 + n3 = n 2 n 3 n 1 n n n 其中 ， 和 分别是事件 、 和 出现的 频率．当 很大时， ， 和 分别接近于0.1、0.7和0.2，于是可以期望该 机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为 n n1 n n2 n n3 {X = −0.10} {X = 0.2} {X = 0.40} n n n1 n n2 n n3
-0.1×0.1+0.2×0.7+0.4×0.2=0.21(元) 上述结果称为随机变量X的数学期望 定义1设离散型随机变量X的分布律为 X X1X2…Xk… P P1P2…Pk… 则称 E(X)=∑xxP:(要求此级数绝对收敛) k=1 为X的数学期望（或均值） 例2设X服从参数为p的(0-1)分布，求X的数学期 望. 解X的分布律为 X 0 1 P 1-p E(X)=0×(1-p)+1×p=p
− 0.10.1+ 0.20.7 + 0.40.2 = 0.21 （元） 上述结果称为随机变量X 的数学期望． 定义1 设离散型随机变量X 的分布律为 则称 （要求此级数绝对收敛） （1） 为 X 的数学期望(或均值)． x1 x2 xk p1 p2 pk X P = = 1 ( ) k k pk E X x 例2 设 X 服从参数为 p 的( 0－1 )分布，求 X 的数学期 望． 解 X 的分布律为 X 0 1 P 1 － p p E(X) = 0(1− p) +1 p = p
例3设X~B(n,p),求E(X). 解X的分布律为 p%=P{X=k=Cp(1-p)"-,k=0,1,2,…,n F0=空奶rI-p k=0 =np>Cp-(1-p)(-D-(-D k=1 =np(p+1-p)" =np. 例4设X~π(2)，求E(X)· 解Pk=P{X=}= e,k=0,1,2,… k
例3 设 X ~ B(n, p) ，求 E(X ) ． . ( 1 ) (1 ) (1 ) !( )! ! ( ) { } (1 ) , 0,1, 2, , 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 0 1 n p n p p p n p C p p p p k n k n E X k p k p P X k C p p k n n n k k k n k n n k k n k n k k k k n k k n = = + − = − − − = = = = = − = − = − − − − − − = − = − 解 X 的分布律为 例4 设 X ~ () ，求 E(X ) ． , 0, 1, 2, ! = { = } = = − e k k p P X k k k 解
0- k=0 名(k-1！ 例5已知10件产品中有2件次品，求任意取3件中次 品数的数学期望， 解以X表示任取3件中次品的个数，可取值为0,1,2，其分布律为 8 8 8 2 3 7 2 P{X=0}= 10 15 P{X=2} 10 15 3 3 3 因此 E(X)=0x +2×1=3 15 15 155
e e . ( 1)! ! ( ) 1 1 0 1 = = − = = = − = − − = − = k k k k k k k e e k E X k p k 例5 已知10件产品中有2件次品，求任意取3件中次 品数的数学期望． , 15 1 3 10 2 2 1 8 , { 2} 15 7 3 10 1 2 2 8 , { 1} 15 7 3 10 3 8 { 0} = = = = = = = P X = = P X P X 解 以 X 表示任取3件中次品的个数，可取值为0, 1, 2，其分布律为 因此 . 5 3 15 1 2 15 7 1 15 7 E(X) = 0 + + =
二、连续型随机变量的数学期望 定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 则称 E(X)=∫f(x)dr(要求此积分绝对收敛) (2) 为X的数学期望（或均值）， 例6设X在[a,b]上服从均匀分布，求E(X) 解X的概率密度为 f(x)= a≤x≤b, b-a 0, 其它 -地-= 2 例7设X服从参数为 的指数分布，求E (X)·
二、连续型随机变量的数学期望 例6 设 X 在 [ a,b ]上服从均匀分布，求E ( X )． 解 X 的概率密度为 . = − 0, . , , 1 ( ) 其它 a x b f x b a 2 d 1 ( ) ( )d a b x b a E X xf x x x b a + = − = = + − 例7 设 X 服从参数为 的指数分布，求E ( X ) ． 定义2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) , 则称 （要求此积分绝对收敛) 为X 的数学期望(或均值)． + − E(X ) = xf (x)dx (2)
解X的概率密度为 f(x)= ex,x≥0， 0, 其它 (0-ew-,e=月 例8设X~N(4,o2),E(X) 求 解f(x)= 1-x2 ,-00<X<+00 √2πo -。 t =
解 X 的概率密度为 = − 0, . e , 0, ( ) 其它 x f x x + − + − = = = 0 1 ( ) ( )d e d E X xf x x x x x 例8 设 ， 求 ． ~ ( , ) 2 X N E(X ) = − + − − f x x x e , 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) . e d 2 1 e d 2 ( )e d 2 1 e d 2 ( ) ( )d 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 = = + + = = + − + − − − + − − + − − + − − t x x t x x x E X x f x x t t t x 解 t x = − 令
三、随机变量的函数的数学期 定1设随机变量Y是随机变量X的函数：Y=g(X); (1)若X为离散型，且分布律为p=PX=x},k=1,2,… 则 E(Y)=Eg(X]=∑g(x)Pk. (3) k= (2)若X为连续型，其密度为f(x),则 E(Y)=E[g(X)]=[g(x)f(x)dx (4) 例9设X的分布律为 X -2 -1 0 1/2 P 1/6 1/3 1/41/12 1/6 求E(X2)、E(aX+b)·
三、随机变量的函数的数学期 望 例9 设X的分布律为 X －2 －1 0 1 / 2 1 P 1 / 6 1 / 3 1 / 4 1 / 12 1 / 6 ( ) E(aX + b) 2 求 E X 、 ． 定理1 设随机变量Y 是随机变量 X 的函数:Y=g(X ); （1）若X为离散型, 且分布律为 则 . pk = P{X = xk }, k =1, 2, E(Y) = E[g(X)] = = 1 ( ) k k pk g x （2）若X为连续型，其密度为f( x )，则 ． + − E(Y) = E[g(X )] = g(x) f (x)dx (3) (4)
616 、 240+6. 例10设X~N(0,),求E(X2). x2 解 例11设X在区间(0，a)上服从均匀分布，求Y=kX2的数学期望， 解X的密度为f(x)= 0<x<a, a 则 其它 EY)=Ekr)=∫kxfx)=∫。kx2d=kd. 0 3
16 19 6 1 1 12 1 2 1 4 1 0 3 1 ( 1) 6 1 ( ) ( 2) 2 2 2 2 2 2 + = E X = − + − + + . 24 11 6 1 ( ) 12 1 2 1 4 1 3 1 ( ) 6 1 ( ) ( 2 ) a b E a X b a b a b b a b a b = − + + + + = − + + − + + + + 解 . 例10 设 X ~ N(0,1) ，求 E(X 2 ) ． e d 1 2 1 ( ) (x)d 2 2 2 2 = = = + − + − − E X x x x x x 解 . 例11 设 X 在区间(0,a)上服从均匀分布，求 Y = kX 2 的数学期望． 解 X 的密度为 则 = 0, . , 0 , 1 ( ) 其它 x a f x a 2 0 2 2 2 3 1 d 1 ( ) ( ) ( )d x k a a E Y E k X k x f x x k x a = = = = + −
例12 设X的概率密度为 π π f(x)=2 COSX, <X< 2 2'Y=sin X,Z=cosX, 0, 其它， 求E(Y)、E(Z) 解 E(Y)=E(sin X)=sin xf(x)dx E(Z)=E(cosX)=[cosxf(x)dx -∫2cosxcosd 2 号1+c0s2xd
例12 设 X 的概率密度为 ， 求 、 ． − = 0, , , 2 2 cos , 2 1 ( ) 其它 x x f x Y = sin X, Z = cos X E(Y) E(Z) 解 + − E(Y) = E(sin X ) = sin xf (x)dx cos d 0 . 2 1 sin 2 2 = = − x x x . 4 d 2 1 cos2 cos d 2 1 cos ( ) (cos ) cos ( )d 2 0 2 2 = + = = = = − + − x x x x x E Z E X x f x x