上讲提要 1.不定积分概念、性质、公式 2.不定积分的计算手法： 直接积分法、凑分法 3
3 上 讲 提 要 1．不定积分概念、性质、公式 2．不定积分的计算手法： 直接积分法、凑分法
第一节不定积分 四、换元积分法 (二)第二类换元积分法 定理 设函数x=w()单调、可导，且w'(u)≠0，若 ∫f(w(uy'(u）du=G(u)+c, 则 「f(x)d=G(w'(x)+c 证 w助此 dx 在=fu(uww =f(W(u))=f(x) 故 「f(x)dc=G(y'(x)》+c 4
4 第一节 不定积分 四、换元积分法 （二）第二类换元积分法 定理 设函数x u = ( )单调、可导,且 '( ) 0 u ，若 f u u du G u c ( ( )) '( ) ( ) = + ， 则 1 f x dx G x c ( ) ( ( )) − = + 证 1 1 ( ( )) ( ( )) '( ) '( ) d dG du G x f u u dx du dx u − = = = = f u f x ( ( )) ( ) 故 1 f x dx G x c ( ) ( ( )) − = +
1.含Va2-x2型(a>0) 方法：令x=asint 或x=acost t∈(0，π) 例1.求∫Va2-xd(a>0) Va2-x2 解令x=asint,dk=acostdt,于是 ∫Va-rdk=∫Va-sinlacosd =ofows=5j+o2a-gu+2c +inco)+= inx+xa2-x2+c 2 arcsin 2 5
5 1．含 2 2 a x − 型( 0) a 方法：令 x a t = sin ( , ) 2 2 t − 或 x a t = cos t (0, ) 例1． 求 2 2 a x dx a − ( 0) 解 令x a t dx a tdt = = sin , cos ，于是 2 2 2 2 2 a x dx a a ta tdt − = − sin cos 2 2 2 2 sin 2 cos (1 cos2 ) ( ) 2 2 2 a a t = = + = + + a tdt t dt t c 2 2 2 2 ( sin cos ) arcsin 2 2 2 a a x x t t t c a x c a = + + = + − + t x a 2 2 a x −
例2 2x dx 解法一令x=sint,d=costdt,于是 - t。ot=2j∫sintd =-2c0st+c=-2W1-x2+c 解法二 八-2-* 2.含√a2+x2型(a>0) 方法：令x=atav1c(受 或x=acott t∈(0，π)
6 例 2 2 2 1 x dx − x 解法一 令x t dx tdt = = sin , cos ，于是 2 2 2 2sin cos 2 sin 1 1 sin x t dx tdt tdt x t = = − − 2 = − + = − − + 2cos 2 1 t c x c 解法二 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) 1 1 1 x d x dx dx x x x − = = − − − − 2 = − − + 2 1 x c 2． 含 2 2 a x + 型( 0) a 方法：令x a t = tan ( , ) 2 2 t − 或x a t = cot t (0, )
例1.求 atr 三dx(a>0) 解令x=a tant,.dk=asec2tdt ∫a-+am asec2tdt sectdt In sect+tant+c Va2+x -。 解 令x=tant,d=sec2tdt
7 例 1.求 2 2 1 dx a( 0) a x + 解 令 2 x a t dx a tdt = = tan , sec 2 2 2 2 2 2 1 1 sec tan dx a tdt a x a a t = + + 1 = = + + sec ln sec tan tdt t t c 2 2 2 2 1 ln ln x a x c x a x c a a + = + + = + + + 例 2．求 3 2 3 (1 ) x dx + x 解 令 2 x t dx tdt = = tan , sec t x 2 2 a x + a
tan't -sec2 tdt -∫eos,iast-jd-7uosi cost+ 1 cost 3.含√x2-a2型(a>0) V1+x2 方法：令x=secl,i∈(0，) 8
8 3 3 2 2 3 2 3 tan sec (1 ) (1 tan ) x t dx tdt x t = + + 3 2 sin cos t dt t = 2 2 sin cos cos t d t t = − 2 2 cos 1 cos cos t d t t − = 2 1 (1 ) cos cos d t t = − 2 2 1 1 cos 1 cos 1 t c x c t x = + + = + + + + 3．含 2 2 x a − 型( 0) a 方法：令 sec , (0, ) 2 x a t t = t x 2 1+ x 1
例1.求 1 x-d dx(a>0) 解令x=asect,,dk=asecttantdt 1w2-a asecttant dt =sectdt In sect tant+c 2-a2 =In x.vx2-a2 +C1 a 2 -Inx+vx"-a"te 9
9 例 1．求 2 2 1 dx a( 0) x a − 解 令x a t dx a t tdt = = sec , sec tan 2 2 2 2 2 1 sec tan sec a t t dx dt x a a t a = − − = sectdt 1 2 2 1 2 2 ln sec tan ln ln t t c x x a c a a x x a c = + + − = + + = + − + t x 2 2 x a − a
例2 _dx 解令x=sect,d=secttantdt 1-- 1 =t+c=arccos-+c X 4.含ar+b型 方法：令ax+b=t 例1 解令√X=t,x=t,dx=2tdh 10
10 例 2．求 2 1 1 dx x x − 解 令x t dx t tdt = = sec , sec tan 2 2 1 sec tan 1 sec sec 1 t t dx dt dt x x t t = = − − 1 t c c arccos x = + = + 4．含k ax b + 型 方法：令k ax b t + = 例 1.求 1 1 dx + x 解 令 2 x t x t dx tdt = = = , , 2
1+s-J2a咖=可a =2-1+7h=2-l+0+c =2[V-ln(1+Vx)]+c 例2树0 解令=t,x=t,d=6tdi ia-aa-ah-,a -6l-17h=6-am+e =6(/x-arctanx)+c 11
11 1 1 1 1 2 2 1 1 1 t dx tdt dt x t t + − = = + + + 1 2 (1 ) 2( ln 1 ) 1 dt t t c t = − = − + + + = − + + 2[ ln(1 )] x x c 例 2.求 3 1 (1 ) dx + x x 解 令6 6 5 x t x t dx t dt = = = , , 6 5 2 3 2 3 2 1 6 6 (1 ) (1 ) 1 t t dx dt dt x x t t t = = + + + 2 1 6 (1 ) 6( arctan ) 1 dt t t c t = − = − + + 6 6 = − + 6( arctan ) x x c
五、分部积分法 公式u=(x),v=v(x)具有连续导数，则 ∫w'dk=w-∫u'vak 或 ∫udw=w-∫du 证(w)'='v+w uw'=(w)'-'v 两边求不定积分，得 ∫w'dk=jwy'dk-∫uak=w-Ju'aki 即 ∫wv'd=wv-∫u'rd 又 v'dx =dv,u'dx du 故 「udw=w-∫dhu 12
12 五、分部积分法 公式 u u x v v x = = ( ), ( )具有连续导数,则 uv dx uv u vdx ' ' = − 或 udv uv vdu = − 证 ( )' ' ' uv u v uv = + uv uv u v = − ( )' 两边求不定积分，得 uv dx uv dx u vdx uv u vdx ' ( )' ' ' = − = − 即 uv dx uv u vdx ' ' = − 又 v dx dv = ，u dx du = 故 udv uv vdu = −