上讲提要 1.多元复合函数微分法 2.多元隐函数微分法 3
3 上 讲 提 要 1．多元复合函数微分法 2．多元隐函数微分法
第四节多元函数的极值 一.二元函数的极值 (一)概念 定义4-6若函数z=f(x,y)在(x,)点的某邻域U(x)》 内有定义，且(x,y)∈U(x,),总有f(x,y)f(x,y),则称函数在点(xo,)有极大值或极 小值f(xo,y),(x,)点为极大值点或极小值点。 例1.函数z=√R2-x2-y2(R>0)在(0,0)点有极大值R, (0,0)点为极大值点
4 第四节 多元函数的极值 一．二元函数的极值 （一）概念 定义 4-6 若函数z f x y = ( , )在 0 0 ( , ) x y 点的某邻域 0 0 U x y (( , )) 内有定义，且 0 0 ( , ) (( , )) x y U x y ，总有 0 0 f x y f x y ( , ) ( , ) 或 0 0 f x y f x y ( , ) ( , ) ，则称函数在点 0 0 ( , ) x y 有极大值或极 小值 0 0 f x y ( , )， 0 0 ( , ) x y 点为极大值点或极小值点。 例 1．函数 2 2 2 z R x y = − − ( 0) R 在(0,0) 点有极大值 R， (0,0)点为极大值点
例2.z=xy在(0,0)点不取极值 事实上，在U(0,0)内总有函数值为正的点，也总有 函数值为负的点，故函数在(0,0)点不取极值。 定义若函数z=f(x,y)在(xoy)点具有偏导数，且 f(x,)=0,f(x,y)=0则称(x,)点为函数的驻点。 (二)判别法 定理4-3（极值存在的必要条件)若函数z=f(x,y)在 (x,)点处取得极值，且偏导数存在，则有 f(x0,o)=0,f(x,%)=0 证 不妨设f(x,y)在(x,)点处取极大值 故(x,y)∈U(x,y)都有f(x,y)<f(xo,o) 5
5 例 2．z xy = 在(0,0)点不取极值 事实上,在U((0,0))内总有函数值为正的点，也总有 函数值为负的点,故函数在(0,0)点不取极值。 定 义 若函数 z f x y = ( , )在 0 0 ( , ) x y 点具有偏导数，且 0 0 f x y x ( , ) 0 = ， 0 0 f x y y ( , ) 0 = 则称 0 0 ( , ) x y 点为函数的驻点。 （二）判别法 定理 4-3 （极值存在的必要条件）若函数z f x y = ( , )在 0 0 ( , ) x y 点处取得极值，且偏导数存在，则有 0 0 f x y x ( , ) 0 = , 0 0 f x y y ( , ) 0 = 证 不妨设 f x y ( , )在 0 0 ( , ) x y 点处取极大值 故 0 0 ( , ) (( , )) x y U x y 都有 0 0 f x y f x y ( , ) ( , )
特别在U(x,)内取y=,x≠x的点也有 f(x,yo)<f(xo-yo) 于是，f(x,)可看做关于x的一元函数，且f(x,y)在x=x 点取得极大值，因而必有 =0,即f(xy)=0 同理可证f(xo%)=0 说明(1)偏导数存在的极值点一定为驻点： (2)驻点未必是极值点，例如z=xy,:=y,)=x, 故z(0,0)=0,2,(0,0)=0,所以(0,0)点为驻点
6 特别在 0 0 U x y (( , ))内取 0 0 y y x x = , 的点也有 0 0 0 f x y f x y ( , ) ( , ) 于是， 0 0 f x y ( , )可看做关于x的一元函数，且 f x y ( , )在 0 x x = 点取得极大值，因而必有 0 0 ( , ) 0 x x d f x y dx = = ,即 0 0 f x y x ( , ) 0 = 同理可证 0 0 f x y y ( , ) 0 = 说明(1)偏导数存在的极值点一定为驻点； (2)驻点未必是极值点，例如z xy = , x z y = , y z x = , 故z x (0,0) 0 = ，z y (0,0) 0 = ,所以(0,0)点为驻点
由上例题可知(0,0)点不是极值点。 定理4-4（极值存在的充分条件）设函数z=f(x,y)在 (xo,y)点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且 f(xo,yo)=0,f(xo,%)=0, 令A=f0(x),B=f"(0,6),C=f(xo,6),则 (1)当B2-AC0,则f(xy)是极小值；若 A0时，则f(x,%)不是极值； (3)当B2-AC=0时，则f(x,)是否为极值需另讨论；
7 由上例题可知(0,0)点不是极值点。 定 理 4-4 （极值存在的充分条件）设函数z f x y = ( , )在 0 0 ( , ) x y 点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且 0 0 f x y x ( , ) 0 = , 0 0 f x y y ( , ) 0 = ， 令 0 0 ( , ) A f x y xx = ， 0 0 ( , ) B f x y xy = , 0 0 ( , ) C f x y yy = ,则 (1)当 2 B AC − 0时，若 A 0,则 0 0 f x y ( , )是极小值；若 A 0，则 0 0 f x y ( , )是极大值； (2)当 2 B AC − 0时，则 0 0 f x y ( , )不是极值； (3)当 2 B AC − = 0时，则 0 0 f x y ( , )是否为极值需另讨论；
三) 极值求法 1.函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数 (1)求z=f(x,y)的一切驻点，即 f(x,y)=0 f(x,y)=0 的所有实数解； (2)对于每一个驻点，求出A,B,C值，并利用定理4-4 判别驻点是否为极值点； (3)求出极值点的函数值，即得所求的极值； 8
8 （三）极值求法 1．函数z f x y = ( , )具有二阶连续偏导数 (1)求z f x y = ( , )的一切驻点，即 ( , ) 0 ( , ) 0 x Y f x y f x y = = 的所有实数解； (2)对于每一个驻点，求出A B C , , 值，并利用定理 4-4 判别驻点是否为极值点； (3)求出极值点的函数值，即得所求的极值；
例1.求函数fx,y)=x-y+3x2+3y-9x的极值。 解解方程组 f(x,y)=3x2+6x-9=0 f(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2)， fx(x,y)=6x+6,f(x,y)=0,f"(x,y)=-6y+6, 列表讨论如下 (Xo2 o) A B C B2-AC f (Xo2Yo) (1,0) 12 0 6 -72 极小值-5 (1,2) 12 0 -6 72 不是极值 (-3,0) -12 0 6 72 不是极值 (-3,2) -12 0 -6 -72 极大值31 9
9 例 1．求函数 3 3 2 2 f x y x y x y x ( , ) 3 3 9 = − + + − 的极值。 解 解方程组 2 2 ( , ) 3 6 9 0 ( , ) 3 6 0 x Y f x y x x f x y y y = + − = = − + = 得驻点(1,0),(1,2),( 3,0),( 3,2) − − , f x y x xx ( , ) 6 6 = + , f x y xy ( , ) 0 = , f x y y yy ( , ) 6 6 = − + , 列表讨论如下 0 0 ( , ) x y A B C 2 B AC − 0 0 f x y ( , ) (1,0) 12 0 6 -72 极小值-5 (1,2) 12 0 -6 72 不是极值 ( 3,0) − -12 0 6 72 不是极值 ( 3,2) − -12 0 -6 -72 极大值 31
例2求函数f(x,y)=Vx2+y2的极值 解 得(0,0)，但在(0,0)点处偏导数不存在，故(0,0)点不是 驻点。显然(x,y)∈U(0,0),都有f(x,y)>0=f(0,0), 所以函数在偏导数不存在的(0,0)点取得极小值 f(0,0)=0。 10
10 例 2 求函数 2 2 f x y x y ( , ) = + 的极值 解 令 2 2 2 2 ( , ) 0 ( , ) 0 x y x f x y x y x f x y x y = = + = = + ， 得(0,0),但在(0,0)点处偏导数不存在，故(0,0)点不是 驻点。显然 ( , ) ((0,0)) x y U ，都有 f x y f ( , ) 0 (0,0) = ， 所 以 函 数 在 偏 导 数 不 存 在 的 (0,0) 点 取 得 极 小 值 f (0,0) 0 =
2. 最值 (1)由有界闭区域连续的二元函数，一定存在最大值M, 最小值m。 设z=f(x,y)在有界闭区域D上连续，求M,m,先求 z=f(x,y)出在D上的所有驻点的函数值及D的边界上的 最大值，最小值，然后进行比较，最大者为最大值M, 最小者为最小值m。 例3.求f(x,y)=√4-x2-y2在圆域x2+y2≤1上的最大值。 f(x,y)=- -X =0 解 令 V4-x2-y2 ,得驻点(0,0) fx,04--y =0
11 2．最值 (1)由有界闭区域连续的二元函数，一定存在最大值M ， 最小值m。 设z f x y = ( , )在有界闭区域D上连续，求M m, ，，先求 z f x y = ( , )出在D上的所有驻点的函数值及D的边界上的 最大值，最小值，然后进行比较，最大者为最大值M ， 最小者为最小值m。 例 3．求 2 2 f x y x y ( , ) 4 = − − 在圆域 2 2 x y + 1上的最大值。 解 令 2 2 2 2 ( , ) 0 4 ( , ) 0 4 x y x f x y x y y f x y x y − = = − − − = = − − ，得驻点(0,0)
f(0,0)=2 x2+y2=1上的函数值f(x,y)=V3.2>√3，故f(x,y)在 (0,0)点处取得最大值f(0,0)=2。 (2)实际问题 由实际问题本身，知道函数f(x,y)在区域D内有最 大值（或最小值），又f(x,y)在D内有唯一驻点，那么 驻点的函数值就是f(x,y)在D上的最大值（或最小值) 不必检验。 例4.要制作一个容量V为的长方体箱子，问如何选择 尺寸，才能使所用的材料最少？ 解设箱子的长为x,宽为y,则其高应为'， 设箱子的 XV
12 f (0,0) 2 = 2 2 x y + =1上的函数值 f x y ( , ) 3 = 。2 3 ，故 f x y ( , )在 (0,0)点处取得最大值 f (0,0) 2 = 。 (2)实际问题 由实际问题本身，知道函数 f x y ( , )在区域 D 内有最 大值（或最小值），又 f x y ( , )在 D 内有唯一驻点，那么 驻点的函数值就是 f x y ( , )在 D 上的最大值（或最小值） 不必检验。 例 4．要制作一个容量V 为的长方体箱子，问如何选择 尺寸，才能使所用的材料最少？ 解 设箱子的长为x，宽为y，则其高应为 V xy，设箱子的