一元函数微分学 习题课 一.函数、极限 (一)基本要求 1.理解函数的概念； 2.了解函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性； 3.熟悉基本初等函数的性质及其图形： 4.理解初等函数的概念； 5.善于将复合函数分解成简单函数的复合； 6.领会函数极限的实质，加深对极限思想的理解； 3
3 一元函数微分学 习 题 课 一．函数、极限 （一）基本要求 1.理解函数的概念； 2.了解函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性； 3.熟悉基本初等函数的性质及其图形； 4.理解初等函数的概念； 5.善于将复合函数分解成简单函数的复合； 6.领会函数极限的实质，加深对极限思想的理解；
7.掌握极限的四则运算法则； 8.了解极限存在准则； 9.理解无穷小与无穷大的概念，知道两者之间的关系， 掌握无穷小，无穷大的性质及无穷小阶的比较； 10.熟练地运用两个重要的极限求函数极限； 11.理解函数连续性的概念，了解函数间断点的概念， 并会判别间断点的类型； 12.了解初等函数的连续性，能利用函数的连续性求函 数的极限； 13.知道闭区间上连续函数的性质。 4
4 7.掌握极限的四则运算法则； 8.了解极限存在准则； 9.理解无穷小与无穷大的概念，知道两者之间的关系， 掌握无穷小，无穷大的性质及无穷小阶的比较； 10.熟练地运用两个重要的极限求函数极限； 11.理解函数连续性的概念，了解函数间断点的概念， 并会判别间断点的类型； 12.了解初等函数的连续性，能利用函数的连续性求函 数的极限； 13.知道闭区间上连续函数的性质
(二)典型例题 例1·判定下列每对函数是否相同？ (1)y=lnx2与y=2lnx; (2)y=VR与yx: 解(1)y=lnx2的定义域为 (-0,0)U(0,+∞)，而y=2lnx的定义域为(0，+o),因此， 这两个函数是不相同的两个函数； (2)y=V2与y=x的定义域都是(-0，+0)， 且V2x,因此y=V2与yx是同一函数。 5
5 （二）典型例题 例１．判定下列每对函数是否相同？ （１） 2 y x = ln 与y x = 2ln ； （２） 2 y x = 与y x =| |； 解 （１） 2 y x = ln 的定义域为 ( ,0) (0, ) − + ，而y x = 2ln 的定义域为(0, ) + ，因此， 这两个函数是不相同的两个函数； （２） 2 y x = 与 y x =| |的定义域都是( , ) − + ， 且 2 x x =| |，因此 2 y x = 与y x =| |是同一函数
例2.已知2f+3r =5x,求f(x)。 解 令x=则2r+3f0=5号 即3（创+29-5号 (1) 又2f(x)+3f(白)=5x (2) (1)×3-(2)×2得 5)-5目2即/=2x 6
6 例２．已知 1 2 ( ) 3 5 f x f x x + = ，求 f x( )。 解 令 1 x t = ，则 ( ) 1 1 2 ( ) 3 5 f f t t t + = ， 即 ( ) 1 1 3 2 ( ) 5 f x f x x + = (1) 又 ( ) 1 2 3 ( ) 5 f x f x x + = (2) (1)3-(2)2 得 3 5 ( ) 5 2 f x x x = − ，即 3 f x x ( ) 2 x = −
例3.将=八sn千2)分解成简函数。 令u=sin,v=1+x 解 则=/m十2)可分解为=，4=sin X 1+x2 解 1+2+…+n n-→∞ n(n+1) 2 n+1 1 =lim- =lim n-→0 n-→o 2n 2 7
7 例３．将 2 (sin ) 1 x y f x = + 分解成简单函数。 解 令 2 sin , 1 x u v v x = = + 则 2 (sin ) 1 x y f x = + 可分解为y f u = ( )， 2 sin , 1 x u v v x = = + 例４．求 2 2 2 1 2 limn n → n n n + + + 解 2 2 2 1 2 limn n → n n n + + + 2 1 2 limn n → n + + + = 2 ( 1) 1 1 2 lim lim n n 2 2 n n n → → n n + + = = =
例5.求1im n→o 解 0rg日-1 6,m存在，且三元+2m/你 X-> X元 求limf(x)。 解 对∫(x)两边求极限 mf(x)=lim sinx πX-元 +2limf(x) 8
8 例５．求 1 1 1 lim 1 2 2 3 ( 1) n→ n n + + + + 解 1 1 1 1 1 1 limn→ 1 2 2 3 1 n n − + − + + − + 1 lim 1 1 n→ n 1 = − = + 例 6．若lim ( ) x f x → 存在，且 sin ( ) 2lim ( ) x x f x f x x → = + − ， 求lim ( ) x f x → 。 解 对 f x( )两边求极限 sin lim ( ) lim 2lim ( ) x x x x f x f x → → → x = + −
=lim sinx+2limf(x) x→πX-元 X→π 则1imf)=-imn=limSin(x-)=】 X→元 x→πX一πx→元 x-π 例7.当x→0时，f(x)=ln(ax2+1)与g(x)=ln(sinx+1) 为等价无穷小，求a的值。 解f(x)与g(x)是等价无穷小，所以f(x)≠0，故a≠0， lim)=lim In(=lim aIn(ax+ 0 g(x)x0 In(sin2x+1) x0 sinxIn(sin2x+1)sin 9
9 sin lim 2lim ( ) x x x f x → → x = + − 则 sin lim ( ) lim x x x f x → → x = − − sin( ) lim 1 x x x → − = = − 例 7.当 x → 0时， 2 f x ax ( ) ln( 1) = + 与 2 g x x ( ) ln(sin 1) = + 为等价无穷小，求a的值。 解 f x( )与g x( )是等价无穷小,所以 f x( ) 0 ，故a 0， 2 2 0 0 ( ) ln( 1) lim lim ( ) ln(sin 1) x x f x ax → → g x x + = + 1 2 2 2 2 1 0 2 2 sin ln( 1) lim ln(sin 1) ax x x ax ax sin x x → + = +
因为f(x)为初等函数，所以f(x)的连续区间为 (-0,-3)U(-3,2)U(2,+∞) 间断点为x=-3,x=2, limf(x)=lim (x-(x+1)_ 8 X-3 x->-3 (x-2) 5 故x=-3为第一类可去型间断点， lim f(x)=lim (-1)(x+1) =0, x->2 x→2 (x-2) 故x=2为第二类无穷型间断点。 10
10 因为 f x( )为初等函数，所以 f x( )的连续区间为 ( , 3) ( 3,2) (2, ) − − − + 间断点为x x = − = 3, 2， 3 3 ( 1)( 1) 8 lim ( ) lim x x ( 2) 5 x x f x →− →− x − + = = − − , 故x = −3为第一类可去型间断点， 2 2 ( 1)( 1) lim ( ) lim ( 2) x x x x f x → → x − + = = − ， 故x = 2为第二类无穷型间断点
1 lin n(x+1 alim x→0 2 x-→0 1 -=a sinx limln(sin2x+1)sin2 x→0 因为x→0时，f(x)g(x), 所以1imf=l,则a=l。 x-08(x) 例8.求函数0-：。子的连续区间、间附 x2+x-6 点，并判断间断点类型。 解函数f(x)的定义域为(-0，-3)U(-3,2)儿U(2,+o), 11
11 1 2 2 2 0 2 1 0 2 sin 0 limln( 1) 1 lim sin limln(sin 1) ax x x x x ax a a x x x → → → + = = + 因为x → 0时， f x g x ( ) ~ ( )， 所以 0 ( ) lim 1 ( ) x f x → g x = ，则a =1。 例８．求函数 3 2 2 3 3 ( ) 6 x x x f x x x + − − = + − 的连续区间、间断 点,并判断间断点类型。 解 函数 f x( )的定义域为( , 3) ( 3,2) (2, ) − − − +
a+bx2x≤0 例9.己知f(x)= sinbx 在x=0点处连续，求 x>0 、2x a,b的关系？ 解 f(0-0)=lim f(x)=lim(a+bx2)=a x->0 x>0 f(0+0)=lim f(x)=lim sin bx x->0 x0*2x b sinbx b =-lim 2x0 bx 2 因f(x)在x=0点处连续，则 b f(0-0)=f(0+0)=f(0),即a= 2 12
12 例 9．已知 2 0 ( ) sin 0 2 a bx x f x bx x x + = ，在x = 0点处连续，求 a b, 的关系？ 解 2 0 0 (0 0) lim ( ) lim( ) x x f f x a bx a → → − − − = = + = 0 0 0 sin (0 0) lim ( ) lim 2 sin lim 2 2 x x x bx f f x x b bx b bx + + + → → → + = = = = 因 f x( )在x = 0点处连续，则 f f f (0 0) (0 0) (0) − = + = ，即 2 b a =