《竞赛数学》课程教学资源（学科前沿）数学奥林匹克问题

2009年第6期 数学奥林匹克问题 1 1 本期问题 a(a+b)+c(cta 初251设四位数w=abcd是完全平方 (宋庆南昌大学附中，330047) 数，把它从中间划开，得到两个两位数1= 上期问题解答 ab与片=cd;w1=3x1片+1是完全平方数 把W2从中间划开，得到两个两位数2、为 初249如图3， m,=22为是完全平方数，把W5从中间划 AB是⊙0的直径，C 开，得到两个两位数片；w:=为+1是 是B的中点，M是 完全平方数，的9倍是四位数W,也是 AC的中点，CH⊥BM 于H.求证 完全平方数.求四位数w,(1=12,3,4,5) 图3 (田永海黑龙江省绥化市教育学院 OH=AH 152054) 证明：易知AC=BC,4C⊥BC, 初252如图1，△4BC的内切圆切边 ∠C4B=∠CB4=45 BC于点D,AD交内切 又CH⊥BM,则△CMH∽△BMC 圆于另一点E,过E作 因此，C=MHMB 该圆的切线分别交AB 注意到A=C,则A=MHB AC于点F、G.求证 所以，△MMH∽△BMA +在 故∠AHM=∠BAM=45 ① 联结OM. 易知OM∥BC,OM⊥AC 所以.∠AOM=∠ABC=45 (袁安全重庆市合川太和中学401555) ② 高251如图 由式①.②得∠AOM=∠AHM 2,凸四边形ABCD 因此，A、O、H、M四点共圆 于是，∠AHD=∠AMO=90 外切于⊙0.两组 对边所在的直线分 ∠OAH=∠OMH=∠MBC 所以，RH△4OH∽R△BMC 别交于点E、F,对 角线交于点G.求 从而胎兴过 证：OG⊥EF 图2 (沈毅重庆市合川太和中学，401555) 故OH=2AH 高252已知a、b、c为满足akc=1的正 (吕建恒陕西省兴平市教研室，713100) 实数.求证 初250在△4BC中，AB>AC,点E在 1994-2009 China Academie Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.ne

数 学 奥 林 匹 克 问 题 本 期 问 题 初 251 设四位数 w1 = abcd是完全平方 数 ,把它从中间划开 ,得到两个两位数 x1 = ab与 y1 = cd ; w2 = 3 x1 y1 + 1 是完全平方数 , 把 w2 从中间划开 ,得到两个两位数 x2 、y2 ; w3 = 2 x2 y2 是完全平方数 ,把 w3 从中间划 开 ,得到两个两位数 x3 、y3 ; w4 = x3 y3 + 1 是 完全平方数 ,w4 的 9 倍是四位数 w5 ,w5 也是 完全平方数. 求四位数 wi ( i = 1 ,2 ,3 ,4 ,5) . (田永海 黑龙江省绥化市教育学院 , 152054) 初 252 如图 1 , △ABC 的内切圆切边 图 1 BC 于点 D , AD 交内切 圆于另一点 E ,过 E 作 该圆的切线分别交 AB 、 AC 于点 F、G. 求证 : 1 AB + 1 AF = 1 AC + 1 AG . (袁安全 重庆市合川太和中学 ,401555) 图 2 高 251 如图 2 ,凸四边形 ABCD 外切于 ⊙O , 两组 对边所在的直线分 别交于点 E、F ,对 角线交于点 G. 求 证 : OG ⊥EF. (沈 毅 重庆市合川太和中学 ,401555) 高 252 已知 a、b、c 为满足 abc = 1 的正 实数. 求证 : 1 a ( a + b) + 1 b ( b + c) + 1 c ( c + a) ≥3 2 . (宋 庆 南昌大学附中 ,330047) 上 期 问 题 解 答 图 3 初 249 如图 3 , AB 是 ⊙O 的直径 , C 是AB 的 中 点 , M 是 AC 的中点 , CH ⊥BM 于 H. 求证 : OH = 1 2 AH. 证明 :易知 AC = BC ,AC ⊥BC , ∠CAB = ∠CBA = 45°. 又 CH ⊥BM ,则 △CMH ∽ △BMC. 因此 , CM 2 = MH·MB . 注意到 AM 2 = CM 2 ,则 AM 2 = MH·MB . 所以 , △AMH ∽ △BMA. 故 ∠AHM = ∠BAM = 45°. ① 联结 OM. 易知 OM ∥BC , OM ⊥AC. 所以 , ∠AOM = ∠ABC = 45°. ② 由式 ①、②得 ∠AOM = ∠AHM. 因此 ,A 、O、H、M 四点共圆. 于是 , ∠AHO = ∠AMO = 90°, ∠OAH = ∠OMH = ∠MBC. 所以 ,Rt △AOH ∽ Rt △BMC. 从而 , OH AH = CM BC = 1 2 . 故 OH = 1 2 AH. (吕建恒 陕西省兴平市教研室 ,713100) 初 250 在 △ABC 中 , AB > AC ,点 E 在 2009 年第 6 期 45

46 中等数学 边4B上，且AE=4B,4C,过E作边AB的 则2≤3 垂线与边BC的垂直平分线交于点F,求证 点F到直线AB、4C的距离相等。 下面证明：当00,r=y(0<r≤ 取一点G,使 K 2)时， 得EG=EA= 1 ② 4B:4C(此 +x++ 令1=1+x+y.则 时，AG=AB. AC<AB,点GB 1=+x+y+罗 确实在线段 ≥1+2y+xy=1+r BE上).则 图4 式② BG=AB-AG 1+)(2+x+y+21+x+y) =AB-(AB-AC)=AC ≤4(1+x)(1+y) 另外，由RI△FEG≌R△FEA得 气1+)(1+7.2+2)≤47 FG=FA. 气r-3)7+2+2t-(r+1)(2:）司 又点F在边BC的垂直平分线上，则 BF=FC.∠BC=∠FOB 气-+w 所以，△BFG≌△CFA. ③ 故∠FBG=∠FCA,即∠FBA=∠FC 由0<，分≤+1 于是，F、B、C、A四点共圆.从而 ∠EAK=∠FBC=∠FCB=∠EAB 而1+11+，≥ 即A是△4BC的外角平分线」 0及r-3<0知式③显然成立，故式②成立 因此，点F到直线AB、AC的距离相等. 不妨设x≤y≤.由g=P,有 (吴伟朝广州大学数学与信息科学学 :≥A0<y≤ 院，510006) 高249求使不等式 <≤1年<2 应用式②并注意到：一号有 对满足=P的任意正实数xy、:恒成立 1 的正实数入的取值范围 解：在式①中，令x=y=1,=十 h+y 当10时，有 于是，要证式①，只要证 ++++年园 ④ 令+y=.则 1994-2009 China Academie Joural Eleetronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net

边AB 上 ,且 AE = AB - AC 2 ,过 E 作边 AB 的 垂线与边 BC 的垂直平分线交于点 F. 求证 : 点 F 到直线AB 、AC 的距离相等. 证明 :如图 4 ,延长 CA 到点 K ,在 B E 上 图 4 取一点 G, 使 得 EG = EA = AB - AC 2 ( 此 时 ,AG = AB - AC 0 , r = xy (0 < r ≤ 2) 时 , 1 1 + x + 1 1 + y ≤ 2 1 + r . ② 令 t = 1 + x· 1 + y . 则 t = 1 + x + y + xy ≥ 1 + 2 xy + xy = 1 + r. 式 ② Ζ (1 + r) (2 + x + y + 2 1 + x· 1 + y) ≤4 (1 + x) (1 + y) Ζ (1 + r) (1 + t 2 - r 2 + 2 t) ≤4 t 2 Ζ (r - 3) t 2 + (2 +2r) t - (r +1) (r 2 - 1) ≤0 Ζ ( r - 3) [ t - ( r + 1) ] t - r 2 - 1 3 - r ≤0. ③ 由 0 < r ≤2 ] r 2 - 1 3 - r ≤r + 1. 而 t ≥r + 1 ] t - ( r + 1) ≥0 , t - r 2 - 1 3 - r ≥ 0 及 r - 3 < 0 知式 ③显然成立 ,故式 ②成立. 不妨设 x ≤y ≤z. 由 xyz =λ3 ,有 z ≥λ] 0 < xy ≤λ2 Ζ0 < xy ≤λ≤5 4 < 2. 应用式 ②并注意到 z = λ3 xy 有 1 1 + x + 1 1 + y + 1 1 + z ≤ 2 1 + xy + 1 1 + λ3 xy . 于是 ,要证式 ①,只要证 2 1 + xy + xy xy +λ3 ≤ 3 1 +λ . ④ 令 1 + xy = u. 则 46 中 等 数 学

2009年第6期 47 10), 2+(.1+)+1+)u(2-1) PCx vo) u(2.1+) 于是，后+乃=R 件.2》+2+1.6R+A.2)u+ 注意到Hs2亚.n2亚.对 2(P.1)+i0 片A.2)(w-1+1)2 则∑m [2u可 -2gm,n29.明 由01则+2>0 x-ms2[sn2+D匹.n2 又(u-1+1)20,.2<0,故式⑥ -2明[2业.s2 成立 从而，式①成立 即2as2L+sn x-cos2 因此，所求A的取值范围为0， (蒋明斌四川省蓬安中学，637851) c0s 2+1 高250称圆心在正多边形的中心的圆 故x0s2 n 为正多边形的“中心圆”.设⊙0是正n边形 A1A:A.的中心圆，P为⊙0上任一点，P 在A41(i=1,2,…,n,A1=A1)上的射影 即ms21+)n2业.s-0 n n 为B.求证 ② 1994-2009 China Academie Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne

1 1 ,则 u + 2 (λ- 1) λ- 2 λ+ 1 > 0. 又( u - λ+ 1) 2 ≥0 ,λ- 2 0) , P( x0 , y0 ) . 于是 , x 2 0 + y 2 0 = R 2 . 注意到 PAi = cos 2iπ n - x0 ,sin 2iπ n - y0 . 则 ∑ n i = 1 PAi = ∑ n i = 1 cos 2 iπ n - nx0 , ∑ n i = 1 sin 2 iπ n - ny0 . 又 ∑ n i = 1 cos 2 iπ n = ∑ n i = 1 sin 2 iπ n = 0 ,则 ∑ n i = 1 PAi = ( - nx0 , - ny0 ) = n ( - x0 , - y0 ) . ① 直线 AiAi + 1的方程为 x - cos 2 iπ n sin 2 ( i + 1)π n - sin 2 iπ n = y - sin 2iπ n cos 2(i +1)π n - cos 2iπ n , 即 2cos (2 i + 1)π n ·sin π n x - cos 2 iπ n = - 2sin (2 i + 1)π n . sin π n y - sin 2 iπ n . 故 x - cos 2 iπ n cos (2 i + 1)π n = - y - sin 2 iπ n sin (2 i + 1)π n , 即 xcos (2i +1)π n + ysin (2i +1)π n - cos π n =0. ② 2009 年第 6 期 47

48 中等数学 因为P阳，上AA1,所以，PB,所在直线 故0-.mQ+ +s+1四 的方程可设为 ms21D+D=0 因而，直线B,的方程为 xnit证.osi士四 (D待定) 又因为P(0,)在PB,上所以， 6n2i+证.s2i+证+D=0. 联立式②③解得 Bosn2☑.nD生严os2亚+oms2士业ms马 支6n42.为r2+n2业m司 因为n412正-241片2 由∑Pm=nR,∑m=受R,知 -2n21-2s-0. |∑与∑s均为定值，且有 所以，∑m之(-， |∑m=1∑ 由式①、④附，上m病，上m商向 (徐道江苏省如皋市教师进修学校 226500) 敬告读者 1,我刊连续三年推出的由多名教练员提供的模拟试题（含解答）服务于全国高中数学联赛 的专刊一经出版，深受各地参加高中数学联赛学生的普遍欢迎。我部决定2009年第6期（本 期)继续出版服务于全国高中数学联赛的专刊。购买方式如下 未在邮局订阅的读者可直接从编辑部邮购。具体办法是：10册以下加收30%邮挂费：11 册至30册加收20%邮挂费：31册至50册加收10%邮挂费：51册以上不收邮挂费。 2.我刊在连续五年推出《国内外数学竞赛套题及精解》之后，今年继续推出《2007一2008国 内外数学竞赛套题及精解》。定价：30元，单本订阅：36元（含邮挂费），11本以上不收邮费，41 本以上请直接与编辑部联系。 地址：天津市河西区卫津路241号《仲等数学》编辑部 电话：022-23542233 邮编：300074 本刊编辑部 1994-2009 China Academie Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/www.cnki.net

因为 PBi ⊥AiAi + 1 ,所以 , PBi 所在直线 的方程可设为 xsin (2 i + 1)π n - ycos (2 i + 1)π n + D = 0 ( D 待定) . 又因为 P( x0 , y0 ) 在 PBi 上 ,所以 , x0 sin (2i + 1)π n - y0 cos (2i + 1)π n + D = 0. 故 D = - x0 sin (2 i + 1)π n + y0 cos (2 i + 1)π n . 因而 ,直线 PBi 的方程为 xsin (2 i + 1)π n - ycos (2 i + 1)π n - x0 sin (2 i + 1)π n + y0 cos (2 i + 1)π n = 0. ③ 联立式 ②、③解得 Bi x0 sin 2 (2 i + 1)π n - y0 sin (2 i + 1)π n ·cos (2 i + 1)π n + cos (2 i + 1)π n ·cos π n , - x0 sin (2 i + 1)π n ·cos (2 i + 1)π n + y0 cos 2 (2 i + 1)π n + sin (2 i + 1)π n ·cos π n . 故 PBi = - x0 cos 2 (2 i + 1)π n - 1 2 y0·sin (4 i + 2)π n + cos (2 i + 1)π n ·cos π n , - 1 2 x0 sin (4 i + 2)π n - y0 sin 2 (2 i + 1)π n + sin (2 i + 1)π n ·cos π n . 因为 ∑ n i = 1 sin (4 i + 2)π n = ∑ n i = 1 cos (4 i + 2)π n = ∑ n i = 1 sin (2i + 1)π n = ∑ n i = 1 cos (2i + 1)π n = 0 , 所以 , ∑ n i = 1 PBi = n 2 ( - x0 , - y0 ) . ④ 由式 ①、④得 , ∑ n i = 1 PAi与 ∑ n i = 1 PBi同向. 由 ∑ n i = 1 PAi = nR , ∑ n i = 1 PBi = n 2 R ,知 ∑ n i = 1 PAi 与 ∑ n i = 1 PBi 均为定值 ,且有 ∑ n i = 1 PBi = 1 2 ∑ n i = 1 PAi . (徐 道 江苏省如皋市教师进修学校 , 226500) 敬 告 读 者 1. 我刊连续三年推出的由多名教练员提供的模拟试题(含解答) 服务于全国高中数学联赛 的专刊一经出版 ,深受各地参加高中数学联赛学生的普遍欢迎。我部决定 2009 年第 6 期(本 期) 继续出版服务于全国高中数学联赛的专刊。购买方式如下 : 未在邮局订阅的读者可直接从编辑部邮购。具体办法是 :10 册以下加收 30 %邮挂费 ;11 册至 30 册加收 20 %邮挂费 ;31 册至 50 册加收 10 %邮挂费 ;51 册以上不收邮挂费。 2. 我刊在连续五年推出《国内外数学竞赛套题及精解》之后 ,今年继续推出《2007 —2008 国 内外数学竞赛套题及精解》。定价 :30 元 ,单本订阅 :36 元 (含邮挂费) ,11 本以上不收邮费 ,41 本以上请直接与编辑部联系。 地址 :天津市河西区卫津路 241 号《中等数学》编辑部 电话 :022 - 23542233 邮编 :300074 本刊编辑部 48 中 等 数 学