2 中等数学 模拟训练 数学奥林匹克初中训练题(16) 第一试 二填空题（每小题7分，共28分） 一、选择题（每小题7分，共42分） 1.当x-5时，代数式 1.满足方程 x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) 1x-1-2x-2+3引x-3引=4 的值为 的有理数x有( )个 2.若△4BC的三条边长为5、5、5 (A)1 (B)2 (C3 (D)无数 则其内切圆半径r 2.若2x2.6y2+y+:+6能分解为两 3.在图1所示的奥运五环图中，每个圆 个 次因式的积，则整数k的值有(。) 的半径皆为1，且对于相交的任一对圆来说 入 每个圆各有五分之一的圆弧含于另一圆内 (A)1 (B)2 (3 (D)4 如果这种圆的内接正 3.一名学生在用某自然数代入下面的某 五边形面积为a则五 个二次函数(x)(k=1,2,3,4)时，得到了 环图所围成的封闭图 一个完全平方数.则他用的函数是( ) 形的面积是 图1 (A)i(x)=x2+5x+7 4.2009是一个具有如下性质的年号：它 (B)(x)=x2+7x+10 的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种 (C6(x)=x2+9x+18 四位数的年号共出现过 次 (Df(x)=x2+11x+2 第二试 4.若正六边形T内接于⊙0，正六边形 一、(20分)设常数a丸.解关于x的方 五外切于⊙0，则T与五的面积比为 程x+6x2+(9-2ax2-6am+a2-4=0. 二、(25分)如 (A)23(B)34(C)45(D)56 图2，△4BC的内 5.设a、b、c、d、e为互异正奇数.若方程 切圆分别切AB、AC (r.ar-.b)(r.c}(r.d0(r.e=2009 于E、F,D是BC 有整数根x,则a+b+c+d+e的末位数字 的中点，∠B、∠C 是( 的平分线分别与直 (AI (B)3 (C)7 (D)9 线EF交于N、M. 6.若直角三角形的三条边长为正整数 正明：DM=DW. 并且其周长与面积的数值相等，则称为是“标 三、(25分)将12， …,9分成三组，每组 准直角三角形”那么，标准直角三角形的个 三个数，使得每组中的三数之和皆为质数 数为() (1)证明：其中必有两组数的和相等 (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 (2)求出所有不同分法的种数 1994-2009 China Academic fournal electronic publishine House all rights reserved
模拟训练 数学奥林匹克初中训练题(16) 第 一 试 一、选择题(每小题 7 分 ,共 42 分) 1. 满足方程 | x - 1| - 2| x - 2| + 3| x - 3| = 4 的有理数 x 有( ) 个. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 无数 2. 若 2 x 2 - 6 y 2 + xy + kx + 6 能分解为两 个一次因式的积 ,则整数 k 的值有 ( ) 个. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. 一名学生在用某自然数代入下面的某 个二次函数 f k ( x) ( k = 1 ,2 ,3 ,4) 时 ,得到了 一个完全平方数. 则他用的函数是( ) . (A) f 1 ( x) = x 2 + 5 x + 7 (B) f 2 ( x) = x 2 + 7 x + 10 (C) f 3 ( x) = x 2 + 9 x + 18 (D) f 4 ( x) = x 2 + 11 x + 2 4. 若正六边形 T1 内接于 ⊙O ,正六边形 T2 外切于 ⊙O , 则 T1 与 T2 的面积比为 ( ) . (A) 2∶3 (B) 3∶4 (C) 4∶5 (D) 5∶6 5. 设 a、b、c、d、e 为互异正奇数. 若方程 ( x - a) ( x - b) ( x - c) ( x - d) ( x - e) = 2 009 有整数根 x ,则 a + b + c + d + e 的末位数字 是( ) . (A) 1 (B) 3 (C) 7 (D) 9 6. 若直角三角形的三条边长为正整数 , 并且其周长与面积的数值相等 ,则称为是“标 准直角三角形”. 那么 ,标准直角三角形的个 数为( ) . (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 无数 二、填空题(每小题 7 分 ,共 28 分) 1. 当 x = 21 - 5 2 时 ,代数式 x ( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) 的值为 . 2.若 △ABC 的三条边长为 2、 3、 5 , 则其内切圆半径 r = . 3. 在图 1 所示的奥运五环图中 ,每个圆 的半径皆为 1 ,且对于相交的任一对圆来说 , 每个圆各有五分之一的圆弧含于另一圆内. 图 1 如果这种圆的内接正 五边形面积为 a ,则五 环图所围成的封闭图 形的面积是 . 4. 2 009 是一个具有如下性质的年号:它 的各位数码之和为 11. 那么 ,自古至今 ,这种 四位数的年号共出现过 次. 第 二 试 一、(20 分) 设常数 a ≥0. 解关于 x 的方 程 x 4 + 6 x 3 + (9 - 2 a) x 2 - 6 ax + a 2 - 4 = 0. 图 2 二、(25 分) 如 图 2 , △ABC 的 内 切圆分别切 AB 、AC 于 E、F , D 是 BC 的中点 , ∠B 、∠C 的平分线分别与直 线 EF 交于 N 、M. 证明 : DM = DN. 三、(25 分) 将 1 ,2 , …,9 分成三组 ,每组 三个数 ,使得每组中的三数之和皆为质数. (1) 证明 :其中必有两组数的和相等 ; (2) 求出所有不同分法的种数. 2 中 等 数 学 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
2009年第1期 参考答案 是9. 6.C 第一试 设R△4BC的三条边长分别为xy、:(O 、1.D <x≤y<).则 点123分数轴为四个区间 (-∞，1，(121，(2,3]，(3，+∞ x+y+=受+y2= 在每种情况下去掉绝对值符号，共得到解 1≤x至，x=5,其中的有理数有无数多个 因此，2+了-受 2.B 得+2=x+y,即(x-4)(-4)=8 利用判别式或待定系数法得k=与. 故x.4=1.v-4=8 3.D 或x-4=2,y-4=4 当x为自然数时，有 (x+2)2<x2+5x+7<(x+3) 于是，(x,y,)=(5,12,13)或(6,8,10) 共两个标准直角三角形 (x+3)2<x2+7x+10<(x+4)2 (x+4)2<x2+9x+18<(x+5)2 由2x+5=21,平方后整理得 也就是当x取自然数时，函数(x)、 x+5x+1=0. (x)(x)都介于两个相邻的平方数之间 于是，x(x+5)=1 故不可能是平方数.因此，可能取值平方数的 义(x+1)(x+4)=x2+5x+4=3 只能是(x)=x2+11x+2. (x+2)(x+3)=x2+5x+6=5. 另外，当x=23时(23)=784=28 故以上三式相乘得所求的值为·15 4.B. 如图3，将T、分 2.5±5.5 别看成由顶角为120°的 易知（万+(-〔月，故△Bc 等腰三角形拼组而成 为直角三角形，两直角边长为5、5，其面积 则T中含有18个等腰 三角形，万3中含有24个 s-9 等腰三角形.故其面积 图3 比为1824=34 又，5±5+5-6得 5.D r=5±55 对任一整数x,x·a、x·b、x·c、x 2 dx·e为互异整数.而将2009表为五个互 3.L2匹+8a 5 异整数的积只有唯一形式 2009=1×(-1)7×(-7)41 每个圆的面积为Ⅱ，圆位于五边形一边 因此，x为偶数 之外的弓形面积为；”而图形重叠部分含 记x=2m,则 有8个弓形，则所求面积为 (2m-a2m-b2m-c2m-d2m-e ={-1,1,-7,7,41 5 于是，由元素和 4.64. 10m-(a+b+c+d+e)=41 称此类年号为“特殊年号”至今为止，首 得a+b+c+d+e=10m-41,其末位数字 位为2的特殊年号只有2009：对于首位为1 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved
参 考 答 案 第 一 试 一、1. D. 点 1、2、3 分数轴为四个区间 : ( - ∞,1 ] ,(1 ,2 ] ,(2 ,3 ] ,(3 , + ∞) . 在每种情况下去掉绝对值符号 ,共得到解 1 ≤x ≤2 , x = 5 ,其中的有理数有无数多个. 2.B. 利用判别式或待定系数法得 k = ±7. 3. D. 当 x 为自然数时 ,有 ( x + 2) 2 < x 2 + 5 x + 7 < ( x + 3) 2 , ( x + 3) 2 < x 2 + 7 x + 10 < ( x + 4) 2 , ( x + 4) 2 < x 2 + 9 x + 18 < ( x + 5) 2 . 也就是当 x 取自然数时 ,函数 f 1 ( x) 、 f 2 ( x) 、f 3 ( x) 都介于两个相邻的平方数之间 , 故不可能是平方数. 因此 ,可能取值平方数的 只能是 f 4 ( x) = x 2 + 11 x + 2. 另外 ,当 x = 23 时 ,f 4 (23) = 784 = 28 2 . 4.B. 图 3 如图 3 ,将 T1 、T2 分 别看成由顶角为 120°的 等腰三角形拼组而成 , 则 T1 中含有 18 个等腰 三角形 , T2 中含有 24 个 等腰三角形. 故其面积 比为 18∶24 = 3∶4. 5. D. 对任一整数 x , x - a、x - b、x - c、x - d、x - e 为互异整数. 而将 2 009 表为五个互 异整数的积只有唯一形式 : 2 009 = 1 ×( - 1) ×7 ×( - 7) ×41. 因此 , x 为偶数. 记 x = 2 m ,则 {2m - a ,2m - b ,2m - c ,2m - d ,2m - e} = { - 1 ,1 , - 7 ,7 ,41}. 于是 ,由元素和 10 m - ( a + b + c + d + e) = 41 , 得 a + b + c + d + e = 10 m - 41 ,其末位数字 是 9. 6. C. 设 Rt △ABC 的三条边长分别为 x、y、z(0 < x ≤y < z) . 则 x + y + z = xy 2 , x 2 + y 2 = z 2 . 因此 , x 2 + y 2 = xy 2 - x - y 2 . 得 xy 4 + 2 = x + y ,即( x - 4) ( y - 4) = 8. 故 x - 4 = 1 , y - 4 = 8 或 x - 4 = 2 , y - 4 = 4. 于是 ,( x , y ,z) = (5 ,12 ,13) 或(6 ,8 ,10) . 共两个标准直角三角形. 二、1. - 15. 由 2 x + 5 = 21 ,平方后整理得 x 2 + 5 x + 1 = 0. 于是 , x ( x + 5) = - 1. 又( x + 1) ( x + 4) = x 2 + 5 x + 4 = 3 , ( x + 2) ( x + 3) = x 2 + 5 x + 6 = 5. 故以上三式相乘得所求的值为 - 15. 2. 2 + 3 - 5 2 . 易知 2 2 + 3 2 = 5 2 ,故 △ABC 为直角三角形 ,两直角边长为 2、3 ,其面积 S = 6 2 . 又 r· 2 + 3 + 5 2 = 6 2 ,得 r = 2 + 3 - 5 2 . 3. 17π+ 8 a 5 . 每个圆的面积为π,圆位于五边形一边 之外的弓形面积为 π- a 5 . 而图形重叠部分含 有 8 个弓形 ,则所求面积为 5π- 8· π- a 5 = 17π+ 8 a 5 . 4. 64. 称此类年号为“特殊年号”. 至今为止 ,首 位为 2 的特殊年号只有 2 009 ;对于首位为 1 2009 年第 1 期 3 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
4 中等数学 的年号，另三位数码和为10，其中至多一位 假若所分成的A、B、C三组数对应的和 为0.若其中一位为0且另两位的和为10，有 Paps pe为互异质数 9种情况，若考虑0的位置，共得39=27种 因P,+m+=1+2 +9=45能被 情况；若后三位都不为0，其填法种数等于 3整除，故三个和数nmn必为同一类 x+y+:=10的正整数解的组数，按x取值 数.注意到A类三数的和7+13+19=3945，矛 故连同2009本身，共计解数1+27+36 =64个 故三个和数中必有两个相等 第二试 (2)据(1)知，将45表成7,11,13,17,19 一、将方程看作关于a的一元二次方 23中的三数和（其中有两数相等），只有四种 程，整理得 情况： a2.(2x2+6x)a+x+6x3+9x2-4=0 ①9+19+7，②7+17+11 →a2.(2x2+6x)a+(x2+3x)2.4=0 33+13+19.4】1+11+23 由干在12·9中有5个寄数故分成 →d2.[(x2+3x+2)+(x+3x-2)]a+ (x2+3x+2)(x2+3x.2)=0 的三组中必有一组三数全为奇数，另两组各 有一个奇数. →a=x2+3x+2和a=2+3x-2 对于情形①，和为7的组只12，， 分别解得 :-tg4aMs-tad 将剩下的六个数3,5,6,7,8,9分为和为19 的两组，且其中一组全为奇数，只有唯一的分 2 2 二、如图4，设内 法{3,795.68 心为1，联结A、IE、 对于情形②，若三奇数的组从1,7,9， IF、BM、CN则A 则另两组为4,5,8，人2,3，或3,6,8 E、、F四点共圆，有 2,4, 若三奇数的组从359，则另两组为 ∠IE=∠F=片 2,8,){1,4⊙或4,6{128： Ba+ 若三奇数的组从1,3，)，则另两组为 2,6,9{4,5,8 =∠B1C. 图4 共得5种分法 所以，B、E、M、1四点共圆」 对于情形③，若三奇数的组从3,7,9 于是，∠BMI=∠BEI=90 则另两组从1,4825，父： 同理.∠BWC=90° 故DM、DN分别是R△BMCR△BNC斜 若三奇数的组水13,9，则另两组为 24,75,6,8或25,6 4,78 边BC上的中线， 若三奇数的组从1,5)，则另两组为 因此，DM=DN=BC {34,{2,89或23,8{469 三、()由于在12，…，9中，三个不同的 共得5种分法 数之和介于6和24之间，其中的质数只有7 对于情形④和为23的组只有6,8,9 11,13,17,19.23这六个，现将这六个数按被 则另两组从1,3,7人2,4， 3除的余数情况分为两类 综上，共计1+5+5+1=12种分法 A=7,13,19,其中每个数被3除余1： (陶平生江西科技师范学院数学与计 B=11,1723 其中每个数被3除余2 算机科学系，330013) e 1994-2009 China Academic Journal electronic Publishing House.All rights reserved
的年号 ,另三位数码和为 10 ,其中至多一位 为 0. 若其中一位为 0 且另两位的和为 10 ,有 9 种情况 ,若考虑 0 的位置 ,共得 3 ×9 = 27 种 情况 ;若后三位都不为 0 ,其填法种数等于 x + y + z = 10 的正整数解的组数 ,按 x 取值 由 1 到 8 讨论得 36 组解. 故连同 2 009 本身 ,共计解数 1 + 27 + 36 = 64 个. 第 二 试 一、将方程看作关于 a 的一元二次方 程 ,整理得 a 2 - (2 x 2 + 6 x) a + x 4 + 6 x 3 + 9 x 2 - 4 = 0 ] a 2 - (2 x 2 + 6 x) a + ( x 2 + 3 x) 2 - 4 = 0 ] a 2 - [ ( x 2 +3x + 2) + ( x 2 + 3x - 2) ] a + ( x 2 + 3 x + 2) ( x 2 + 3 x - 2) = 0 ] a = x 2 +3x +2和 a = x 2 +3x - 2. 分别解得 x1 ,2 = - 3 ± 4a +1 2 ,x3 ,4 = - 3 ± 4a +17 2 . 图 4 二、如图 4 ,设内 心为 I ,联结 IA 、IE、 IF、BM 、CN. 则 A 、 E、I、F 四点共圆 ,有 ∠IEF = ∠IAF = ∠A 2 , ∠B EM = π 2 + ∠A 2 = ∠BIC. 所以 ,B 、E、M 、I 四点共圆. 于是 , ∠BMI = ∠B EI = 90°. 同理 , ∠BNC = 90°. 故 DM、DN 分别是 Rt △BMC、Rt △BNC 斜 边 BC 上的中线. 因此 , DM = DN = 1 2 BC. 三、(1) 由于在 1 ,2 , …,9 中 ,三个不同的 数之和介于 6 和 24 之间 ,其中的质数只有 7 , 11 ,13 ,17 ,19 ,23 这六个. 现将这六个数按被 3 除的余数情况分为两类 : A = 7 ,13 ,19 ,其中每个数被 3 除余 1 ; B = 11 ,17 ,23 ,其中每个数被 3 除余 2. 假若所分成的 A 、B 、C 三组数对应的和 pa 、pb 、pc 为互异质数. 因 pa + pb + pc = 1 + 2 + …+ 9 = 45 能被 3 整除 ,故三个和数 pa 、pb 、pc 必为同一类 数. 注意到 A 类三数的和 7 + 13 + 19 = 39 45 ,矛 盾. 故三个和数中必有两个相等. (2) 据(1) 知 ,将 45 表成 7 ,11 ,13 ,17 ,19 , 23 中的三数和(其中有两数相等) ,只有四种 情况 : ①19 + 19 + 7 , ②17 + 17 + 11 , ③13 + 13 + 19 , ④11 + 11 + 23. 由于在 1 ,2 , …,9 中有 5 个奇数 ,故分成 的三组中必有一组三数全为奇数 ,另两组各 有一个奇数. 对于情形 ①,和为 7 的组只有 1 ,2 ,4 , 将剩下的六个数 3 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 分为和为 19 的两组 ,且其中一组全为奇数 ,只有唯一的分 法 : 3 ,7 ,9 与 5 ,6 ,8 . 对于情形 ②,若三奇数的组为 1 ,7 ,9 , 则另两组为 4 ,5 ,8 , 2 ,3 ,6 或 3 ,6 ,8 , 2 ,4 ,5 ; 若三奇数的组为 3 ,5 ,9 ,则另两组为 2 ,8 ,7 , 1 ,4 ,6 或 4 ,6 ,7 , 1 ,2 ,8 ; 若三奇数的组为 1 ,3 ,7 ,则另两组为 2 ,6 ,9 , 4 ,5 ,8 . 共得 5 种分法. 对于情形 ③,若三奇数的组为 3 ,7 ,9 , 则另两组为 1 ,4 ,8 , 2 ,5 ,6 ; 若三奇数的组为 1 ,3 ,9 ,则另两组为 2 ,4 ,7 5 ,6 ,8 或 2 ,5 ,6 , 4 ,7 ,8 ; 若三奇数的组为 1 ,5 ,7 ,则另两组为 3 ,4 ,6 , 2 ,8 ,9 或 2 ,3 ,8 , 4 ,6 ,9 . 共得 5 种分法. 对于情形 ④,和为 23 的组只有 6 ,8 ,9 , 则另两组为 1 ,3 ,7 , 2 ,4 ,5 . 综上 ,共计 1 + 5 + 5 + 1 = 12 种分法. (陶平生 江西科技师范学院数学与计 算机科学系 ,330013) 4 中 等 数 学 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net