中华数学竞春网 www.100math.com 小学趣味数学二题 黄志华心 第一篇：自动离场！ “不大可能吧！”全班同学里，大半都在脸上流露出这种想法 这一节课，由于原来的数学老师告了病假，代课的张老师不想打乱别人的教学计划，又不想让学生自 修便算，遂给这班小六学生出了一道题目： 圣才学习 E F G 如图，ABFE和CDGF是两个紧靠在一起的正方形，已知CDGF边长为8Cm,求图中阴影部份， 即△4CG的面积. 看了题目，同学们都感到，只给出小正方形的边长，怎足以算出△4CG的面积呢？不大可能吧！ 张老师却道：“无论如何你们也该先试试去算一算嘛.” 同学们只好若思索，可是大部人依然入手无从，很是为难 过了“漫长”的儿分钟，张老师提议：“不如你们大胆猜猜看，做数学难题，有时是需要这样做的， 譬如说，若AG和CF相交的那一点是H,那么△4ACH的面积跟△CHG或△HGF的面积会是甚么关系？ 万一是相等的关系，这道题目要算起来就不难了.” 得了提示，大家的劲儿来了，开始埋头苦千.平日数学成绩不差的小冯一马当先举手，道：“张老师， 我发现△4CH和△HGF的面积是相等的！” 不小冯接着解释：“设CDGF的边长是c,ABFE的边长是a,则△MBG的面积是×Cx(c+a),梯 形ACFE的两个底分别是c和a,所以其面积是×(c+a)xc,即Sc=Sc两边俱减去梯形 AHFE的面积后，即得S=Su”(这里Sa代表区域Q的面积.) “恩，冯同学说得很好.大家都明白了吗？那么△4CG的面积是多少啦？” “32cm2!”全班同学几乎异口同声的答 中华教学竞赛网 www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 小学趣味数学二题 黄志华 第一篇：自动离场！ “不大可能吧！”全班同学里，大半都在脸上流露出这种想法. 这一节课，由于原来的数学老师告了病假，代课的张老师不想打乱别人的教学计划，又不想让学生自 修便算，遂给这班小六学生出了一道题目： 如图， ABFE 和CD 是两个紧靠在一起的正方形，已知CD 边长为 ，求图中阴影部份， 即 的面积. GF GF 8cm ΔACG 看了题目，同学们都感到，只给出小正方形的边长，怎足以算出 ΔACG 的面积呢？不大可能吧！ 张老师却道：“无论如何你们也该先试试去算一算嘛.” 同学们只好着思索，可是大部人依然入手无从，很是为难. 过了“漫长”的几分钟，张老师提议：“不如你们大胆猜猜看，做数学难题，有时是需要这样做的. 譬如说，若 和 AG CF 相交的那一点是 H ，那么 ΔACH 的面积跟 ΔCHG 或 ΔHGF 的面积会是甚么关系？ 万一是相等的关系，这道题目要算起来就不难了.” 得了提示，大家的劲儿来了，开始埋头苦干.平日数学成绩不差的小冯一马当先举手，道：“张老师， 我发现 和 ΔACH ΔHGF 的面积是相等的！” 小冯接着解释：“设CDGF 的边长是c ， ABFE 的边长是 a ，则 ΔAEG 的面积是 ( ) 1 2 ×× + c ca ，梯 形 ACFE 的两个底分别是 c 和 a ，所以其面积是 ( ) 1 2 × ca c + × ，即 AEG ACFE S S Δ = 梯形 两边俱减去梯形 AHFE 的面积后，即得 HGF ACH S S Δ Δ = ”（这里 SΩ 代表区域Ω 的面积.） “嗯，冯同学说得很好.大家都明白了吗？那么 ΔACG 的面积是多少啦？” “ ！”全班同学几乎异口同声的答. 2 32cm 中华数学竞赛网 www.100math.com 中华数学竞赛网 www.100math.com
中华数学竞睿网 www.100math.com 张老师接者说：“日后当你们的数学知识更丰富时，会发现解这道题目的关键关系，可以用较简单的 方法导出.” “我试举一例，以你们的程度，该不会感到难懂.”。 设HF的长度为b,按相似三角形的性质，有以下的比例关系： a:b=a+c:c. 于是ac=ab+bc得ab=c(a-b). 两边同时乘以)使有)b=2c(a-b): 这里左边正是SGr,右边正是SCH 00xuex1. “我倒想知道出这条题目的人是如何发现有SGF=SG这个关系的.”一同学问道 “你问得很好，但我也实在不知道.”张老师答道。 “这位同学也许对我的答案有点失望.然而可以告诉各位同学，有时巧妙的数学方法或定理，是源自 步一个脚印的笨办法的.我国已故的大数学家华罗庚也曾说：「先不要以为方法笨，有了方法之后， 方法是死的，人是活的.运用之妙，存乎其人.」也让我用一个笨办法来解解刚才那道题目，大家试试 比较比较这些方法的优劣。” 无疑，我们有SACc=(SBEr+Sca)-(Sc+Sc+SBc) “这个式子好繁好笨罢！但请耐心点看下去.” 由于Sae=c,Sgr=d,Sx=cle-a.Sw=a2,Sm=c(e+a) 所以 Sxco=(@+a)-]xex(c+a)[c(c-a)+a+e(c+a)] -(+a)-ixex(c+a)[2e+a] 100xuex -xex(cta)o. “啊！”同学们都很惊讶 “看！办法虽笨，但当中却也有奇妙之处一预了要用上ABEF的边长来计算△4CG的面积，最后 却发觉它自动离场去了.此外，这个笨办法反而不要求我们预先知道SG=SCH这个关系，但由 Saw×(+，我们识要有加思索，也可以得出有SeSam的推论” “像这样子的有某些未知数【自动离场」，在数学解题中并不罕见，就看计算的人能否善用.上了中 学，你们渐渐会碰到更多「自动离场」的例子的.” 中华教学竞春网 .100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 张老师接着说：“日后当你们的数学知识更丰富时，会发现解这道题目的关键关系，可以用较简单的 方法导出.” “我试举一例，以你们的程度，该不会感到难懂.” 设 HF 的长度为b ，按相似三角形的性质，有以下的比例关系： ab a cc : : = + . 于是 ac ab bc = + 得 ab c a b = − ( ) . 两边同时乘以 1 2 ，便有 ( ) 1 1 2 2 ab c a b = − . 这里左边正是 HGF SΔ ，右边正是 . ACH SΔ “我倒想知道出这条题目的人是如何发现有 HGF ACH S S Δ Δ = 这个关系的.”一同学问道. “你问得很好，但我也实在不知道.”张老师答道. “这位同学也许对我的答案有点失望.然而可以告诉各位同学，有时巧妙的数学方法或定理，是源自 一步一个脚印的笨办法的.我国已故的大数学家华罗庚也曾说：『先不要以为方法笨，有了方法之后， 方法是死的，人是活的.运用之妙，存乎其人.』也让我用一个笨办法来解解刚才那道题目，大家试试 比较比较这些方法的优劣.” 无疑，我们有 S SS SS S Δ Δ ACG ABEF CDGF ABC CDG AEG = + − ++ ( ) ( Δ Δ ) “这个式子好繁好笨罢！但请耐心点看下去.” 由于 ， S c ABEF = 2 S a CDGF = 2 ， ( ) 1 2 ABC S cc = − a ， 1 2 2 CDG S a = ， ( ) 1 2 AEG S cc = + a ， 所以 ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 2 2 ACG S c a c c a cc a a cc a Δ = + − ×× + − + + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 = + − ×× + + c a c ca c a ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( ) 1 2 2 = ×× + c c aa . “啊！”同学们都很惊讶. “看！办法虽笨，但当中却也有奇妙之处──预了要用上 ABEF 的边长来计算 的面积，最后 却发觉它自动离场去了.此外，这个笨办法反而不要求我们预先知道 ΔACG HGF ACH S S Δ Δ = 这个关系，但由 ( ) 1 2 2 ACG S c ca Δ = ×× + a ，我们只要肯加思索，也可以得出有 HGF ACH S S Δ Δ = 的推论.” “像这样子的有某些未知数『自动离场』，在数学解题中并不罕见，就看计算的人能否善用.上了中 学，你们渐渐会碰到更多『自动离场』的例子的.” 中华数学竞赛网 www.100math.com 中华数学竞赛网 www.100math.com
中华数学竞春网 www.100math.com 说到这里，下课钟响了 “好了，我也要自动离场纳！”张老师的话，引来同学们的会心微笑 这一节虽不是正式的数学课，不过同学所得到的肯定不比正规的数学课少. 思考题：围绕一个圆形广场的周围画一个更大的圆，使圆与广场圆围的距离为4m.问：大圆周的周长 比广场的圆周长多少米？ 第二篇：余数小魔术 0xue 你能否在十秒之内算出下面两个算式的余数： 甲：1020304050607÷99 乙：101101101101101÷999. 100xuex 不要以为这是绝不可能的事，因为第一个算式的余数相当于 1+02+03+04+05+06+07=7×(1+7)÷2=28 第二个算式的余数相当于 101+101+101+101+101=101×5=505. 原来，只要除数是全由9组成的数，都可以用同样的方法快速地求得余数，例如1234567÷9999的余 数是123+4567=4690.又如8888888888÷99999的余数是8888888888÷99999可是177776比 99999大，实际余数是1+77776=77777. 这现象是甚见奇巧的，然而通过以退为进的策略来解说个中道理，即使是高年级的小学生，也能明白 其所以然。 先从9说起，很明显 00 10=9+1,即10÷9余1： 2×10=2×9+2×1,即20÷9余2： 100xuex 8×10=8×9+8×1,即80÷9余8. 也就是说，对于任何一个正整数n,我们都会有K×10=K×9s+K×1.即K×10”+9余K,这里 0≤K≤9，而S=(10°-)*9. 所以不难解释，任一正整数N用9来除，其余数相当于把N的各个位数的数字全加起来后用9除所 得的余数 譬如说N=a,+10×a,+102×a2+…+10°×an,其中0≤a,a,…,an≤9，则不难看出N÷9 的余数与(a。+a+a+…+an)÷9的余数相同. 中华教学竞赛网 www.100math.com
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中华数学竟春网 www.100math.com 推而广之，若除数是(10”-1)，被除数是N,=a。+10”×a,+102m×a2+…+10×a, 其中0≤a,a,,an≤(10-1），则N1÷(10-1)的余数与(a+a2+…+a)÷(10-l)的余 数相同。 上述的快速余数求法到此可说得到圆满而清楚的解释，但可研究的问题却还多着呢！如说，除数不 是(10°-)而是10-2，甚至是(10°-K)时又如何？ 试以8为例 10÷8余2： 100÷8余4： 1000÷8余0. 所以，要求一个数被8除的余数是多少，只需算该数的末三位数被8除的余数是多少便行。 例：求342671÷8的余数 答：该余数相当于671÷8的余数，又相当于(6×4+7×2+)÷8的余数，即相当于(24+14+)÷8的 余数，即余数是7 当除数是98时，因为 100÷98余2： 1000÷98余4： 1000000÷98余8 100000000÷98余16 , 所以，要是求25623117÷98的余数，就是相当于求(25×8+62×4+31×2+17)÷98的余数，相当 于求(200+248+62+17)÷98的余数，相当于求527÷98的余数，即37.一Q 当然，这里的算法可能比直接求余数还繁琐些，但至少应知道有这样的一种方法，在某些时候起者速 算之效. 比方说，求2024÷97的余数，用类似的方法，很快便求得余数是20×3+24=84.稍为转换一下角 度，我们还有以下的一种富于趣味的余数问题： 23456592÷1233: 22345659÷1233: 92234565÷1233: 59223456÷1233: 中华数学竞网 www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 推而广之，若除数是(10 1) n − ，被除数是 2 10 1 2 10 10 10 nn kn Na a a a = + ×+ × ++ × " k ， 其中 ， ， 0 ≤ a0 a1 "，an ≤ − ( ) 10 1 n ，则 1 (10 1) n N ÷ − 的余数与( 1 2 ) ( ) 10 1 n k aa a + ++ ÷ − " 的余 数相同. 上述的快速余数求法到此可说得到圆满而清楚的解释，但可研究的问题却还多着呢！譬如说，除数不 是(10 1) n − 而是 ，甚至是 (10 2 n − ) (10 ) n − K 时又如何？ 试以8为例 10 8 ÷ 余 ； 2 100 8 ÷ 余 ； 4 1000 8 ÷ 余0 . 所以，要求一个数被8除的余数是多少，只需算该数的末三位数被8除的余数是多少便行. 例：求342671÷8的余数. 答：该余数相当于671 8 ÷ 的余数，又相当于(64721 8 × +×+ ÷) 的余数，即相当于( ) 的 余数，即余数是7 . 24 14 1 8 + +÷ 当除数是 时，因为 98 100 98 ÷ 余 ； 2 1000 98 ÷ 余 ； 4 1000000 98 ÷ 余8； 100000000 98 ÷ 余16; "". 所以，要是求 25623117 98 ÷ 的余数，就是相当于求(25 8 62 4 31 2 17 98 × + ×+ ×+ ÷) 的余数，相当 于求(200 248 62 17 98 + ++ ÷) 的余数，相当于求527 98 ÷ 的余数，即37 . 当然，这里的算法可能比直接求余数还繁琐些，但至少应知道有这样的一种方法，在某些时候起着速 算之效. 比方说，求 的余数，用类似的方法，很快便求得余数是 2024 97 ÷ 20 3 24 84 × + = .稍为转换一下角 度，我们还有以下的一种富于趣味的余数问题： 23456592 1233 ÷ ； 22345659 1233 ÷ ； 92234565 1233 ÷ ； 59223456 1233 ÷ ； 中华数学竞赛网 www.100math.com 中华数学竞赛网 www.100math.com
中华数学竞春网 www.100math.com 65922345+1233 56592234÷1233 45659223÷1233: 34565922÷1233 我们会发觉每个式子都是除得尽的，没有余数的！像这样的除数和被除数，是如何找寻出来的呢？这 om 圣才学习网wwW.100 xuexi.Com圣才学习网www.100 xuexi. 里且卖个关子，让有兴趣的老师和同学自行探讨、研究. 圣才学习网www.10 圣才学习网www.100 xuexi.Com 中华教学竞睿网 www.100math.com
圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 圣才学习网www.100xuexi.com 65922345 1233 ÷ ； 56592234 1233 ÷ ； 45659223 1233 ÷ ； 34565922 1233 ÷ . 我们会发觉每个式子都是除得尽的，没有余数的！像这样的除数和被除数，是如何找寻出来的呢？这 里且卖个关子，让有兴趣的老师和同学自行探讨、研究. 中华数学竞赛网 www.100math.com 中华数学竞赛网 www.100math.com
