按遗嘱分马 笔者曾遇到过一些中小学生， 还有几位学生家长，他们对一个 古老数学故事的结局持异议，认为答案不符合题目原意，甚至有同 学说这个故事是胡说八道。 到底这个数学故事合不合理？故事中的题目有没有解？应该怎样去解？ 故事的题目叫做”遗嘱”，是这样说的： 有一位老人，他有三个儿子和十七匹马。他在临终前对他的儿子们说：“我 己经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分。 老人去世后，三兄弟看到了遗嘱。遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给 我的三个儿子。长子得一半，次子得三分之一，给幼子九分之一。不许流血， 不许杀马。你们必须遵从父亲的遗愿！” 这三个兄弟米或不解。尽管他们在学校里学习成结都不错，可是他们还是 不会用17除以2、 用17除以3、 用17除以9， 又不让马流血。 于是他们就去请 教当地一位公认的智者。这位智者看了遗嘱以后说：“我借给你们一匹马，去按 你们父亲的遗愿分吧！ 老人原有17匹马，加上智者借给的一匹，一共18匹。于是三兄弟按照18匹马 的一半、三分之一和九分之一，分别得到了九匹、六匹和两匹。9+6+2=17（匹）。 还剩下一匹，是智者借给的那匹，还给智者。 到这儿，这个故事就结束了。 不同意这种结果的同学的意见在于：遗嘱所说的一半、三分之一和九分之 ~,都是相对于17匹马来说的，并不是对18匹马来说的，因而智者把自己的 匹马借给三兄弟再按一半、三分之一和九分之一去分，不符合遗嘱原意。 笔者认为，这部分同学之所以不同意故事的结局，是由于对遗嘱的要求掌 操得不够全面浩成的 ,笔者要说明，智者的办法确实是个好办法。遗厢没有错 智者的办法也不光是一个智力游戏，在数学上也是完全合理的。 为此，找们先指出一个事买，即： 1/2+1/3+1/9=17/18<1 这就是说：假设姑且不考虑老人关于不许流血、不许杀马的要求，硬把 17匹马的一半、三分之一和九分之一分给三个兄弟，那么，并没有把17匹马全 部分完，还剩下17匹马的1/18没有分
按遗嘱分马 笔 者 曾 遇 到 过 一 些 中 小 学 生 ， 还 有 几 位 学 生 家 长 ， 他 们 对 一 个 古 老 数 学 故 事 的 结 局 持 异 议 ， 认 为 答 案 不 符 合 题 目 原 意 ， 甚 至 有 同 学 说 这 个 故 事 是 胡 说 八 道 。 到底这个数学故事合不合理？故事中的题目有没有解？应该怎样去解？ 故事的题目叫做"遗嘱"，是这样说的： 有一位老人，他有三个儿子和十七匹马。他在临终前对他的儿子们说：“我 已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分。” 老人去世后，三兄弟看到了遗嘱。遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给 我的三个儿子。长子得一半，次子得三分之一，给幼子九分之一。不许流血， 不许杀马。你们必须遵从父亲的遗愿！” 这三个兄弟迷惑不解。尽管他们在学校里学习成绩都不错，可是他们还是 不会用 17 除以 2、用 17 除以 3、用 17 除以 9，又不让马流血。于是他们就去请 教当地一位公认的智者。这位智者看了遗嘱以后说：“我借给你们一匹马，去按 你们父亲的遗愿分吧！” 老人原有 17 匹马，加上智者借给的一匹，一共 18 匹。于是三兄弟按照 18 匹马 的一半、三分之一和九分之一，分别得到了九匹、六匹和两匹。9+6+2=17（匹）。 还剩下一匹，是智者借给的那匹，还给智者。 到这儿，这个故事就结束了。 不同意这种结果的同学的意见在于：遗嘱所说的一半、三分之一和九分之 一，都是相对于 17 匹马来说的，并不是对 18 匹马来说的，因而智者把自己的一 匹马借给三兄弟再按一半、三分之一和九分之一去分，不符合遗嘱原意。 笔者认为，这部分同学之所以不同意故事的结局，是由于对遗嘱的要求掌 握得不够全面造成的。笔者要说明，智者的办法确实是个好办法。遗嘱没有错； 智者的办法也不光是一个智力游戏，在数学上也是完全合理的。 为此，我们先指出一个事实，即： 1/2+1/3+1/9=17/18<1 这就是说：假设姑且不考虑老人关于不许流血、不许杀马的要求，硬把 17 匹马的一半、三分之一和九分之一分给三个兄弟，那么，并没有把 17 匹马全 部分完，还剩下 17 匹马的 1/18 没有分
于是我们要考虑一个问题：老人的遗嘱是只把17匹马的一半、三分之 和九分之一分给三个儿子吗？如果是，那么剩下的17/18匹给谁呢？ 按遗嘱中关于把17匹马全部留给三个儿子的要求，剩下的这些马还应继 续分给三兄弟，而且还应该给老大一半，给老二三分之一，给老三九分之一，而 且任何有限次总也无法把17匹马全部分完。 仔细研究老人的遗嘱可以发现，老人的遗嘱实际上包含三点要求：第一， 把17匹马全部都分给三个儿子：第二，每给老大一半，就要给老二三分之一 给老三九分之一，所以实际上是要按照1/2：1/3：1/9这样的比例进行分配，而 不是只把17匹马的1/2,1/3,1/9分给三个儿子；第三，不许让马流血 个分配方案，只要满足上述条件，就是符合遗嘱要求的方案。 老人自己家有17匹马，加上智者借给的一匹，一共十八匹马。按18匹马 的1/2,1/3,1/9分给三个兄弟，三个兄弟所得的马的匹数当然符合 1/2:1/3:1/9的比例（符合上述第二条要求），而三个兄弟分别得到的9匹、 6元和2匹之和. 恰好是17匹（ 合上述第 一条再求 又没让马流血（符合 上述第三条要求)，所以智者的办法是完全符合老人遗嘱要求的。 不借用智者的一匹马也可以执行老人的遗嘱。为此，把1/2：1/3：1/9 化简可得 9:6:2,恰好有9+6+2=17。可见，分给长子9匹、次子6匹、 幼子2匹，既恰好把17匹马全都分完，又符合1/2：1/3：1/9的比例，又没有 让马流血，所以完全合乎老人遗嘱的要求。 还用一种不借用智者的一匹马也能执行老人遗嘱的办法 假如先不考虑老人关于不许 马的要求，而硬把17匹马的 一半、 三分之 和九分之一分别分给三兄弟，完成第一次分配：第一次分配后剩下一部分马 再把剩下的这部分马的一半、三分之一和九分之一分别分给三兄弟，完成第二次 分配：第二次分配后还剩下一部分，再把剩下的这部分马的一半、三分之一和九 分之一分别分给三兄弟，完成第三次分配。照此办理，任何有限次分配总不能把 7匹马全音 而无穷无尽地分 三个兄弟所分得的马各是 个无穷级 数的和，或者说各是一个无穷递缩等比数列各项的和。这三个无穷递缩等比数列 的首项分别是17/2， 17/3,17/9,公比都是1/18，按照无穷递缩等比数列 的各项和公式可以算出，三兄弟每人分得的马分别为：9匹，6匹，2 兀。 先进行分析和计算，不要认真地动刀进行一次又一次的分配，等到算出了 三兄弟每人 的分配后所分别能够得到的马的总匹数 再统■ 一次性地分配，就既用不着杀马，又恰好把17匹马全部按老人的遗嘱所 规定的比例分完，不拆不扣地执行了老人的遗嘱。 从上面几种解法来看，智者的办法计算起来比较简单，因而确实称得上是 一种十分巧妙的办法
于是我们要考虑一个问题：老人的遗嘱是只把 17 匹马的一半、三分之一 和九分之一分给三个儿子吗？如果是，那么剩下的 17/18 匹给谁呢？ 按遗嘱中关于把 17 匹马全部留给三个儿子的要求，剩下的这些马还应继 续分给三兄弟，而且还应该给老大一半，给老二三分之一，给老三九分之一，而 且任何有限次总也无法把 17 匹马全部分完。 仔细研究老人的遗嘱可以发现，老人的遗嘱实际上包含三点要求：第一， 把 17 匹马全部都分给三个儿子；第二，每给老大一半，就要给老二三分之一、 给老三九分之一，所以实际上是要按照 1/2∶1/3∶1/9 这样的比例进行分配，而 不是只把 17 匹马的 1/2，1/3，1/9 分给三个儿子；第三，不许让马流血。 一个分配方案，只要满足上述条件，就是符合遗嘱要求的方案。 老人自己家有 17 匹马，加上智者借给的一匹，一共十八匹马。按 18 匹马 的 1/2， 1/3，1/9 分给三个兄弟，三个兄弟所得的马的匹数当然符合 1/2∶1/3∶1/9 的比例（符合上述第二条要求），而三个兄弟分别得到的 9 匹、 6 匹和 2 匹之和，恰好是 17 匹（符合上述第一条要求），又没让马流血（符合 上述第三条要求），所以智者的办法是完全符合老人遗嘱要求的。 不借用智者的一匹马也可以执行老人的遗嘱。为此，把 1/2∶1/3∶1/9 化简可得 9∶6∶2， 恰好有 9+6+2=17。可见，分给长子 9 匹、次子 6 匹、 幼子 2 匹，既恰好把 17 匹马全都分完，又符合 1/2∶1/3∶1/9 的比例，又没有 让马流血，所以完全合乎老人遗嘱的要求。 还用一种不借用智者的一匹马也能执行老人遗嘱的办法： 假如先不考虑老人关于不许杀马的要求，而硬把 17 匹马的一半、三分之 一和九分之一分别分给三兄弟，完成第一次分配；第一次分配后剩下一部分马， 再把剩下的这部分马的一半、三分之一和九分之一分别分给三兄弟，完成第二次 分配；第二次分配后还剩下一部分，再把剩下的这部分马的一半、三分之一和九 分之一分别分给三兄弟，完成第三次分配。照此办理，任何有限次分配总不能把 17 匹马全部分完。而无穷无尽地分下去，三个兄弟所分得的马各是一个无穷级 数的和，或者说各是一个无穷递缩等比数列各项的和。这三个无穷递缩等比数列 的首项分别是 17/2, 17/3,17/9，公比都是 1/18,按照无穷递缩等比数列 的各项和公式可以算出，三兄弟每人分得的马分别为：9 匹，6 匹，2 匹。 先进行分析和计算，不要认真地动刀进行一次又一次的分配，等到算出了 三兄弟每人经过无穷无尽、一次又一次的分配后所分别能够得到的马的总匹数后 再统一一次性地分配，就既用不着杀马，又恰好把 17 匹马全部按老人的遗嘱所 规定的比例分完，不拆不扣地执行了老人的遗嘱。 从上面几种解法来看，智者的办法计算起来比较简单，因而确实称得上是 一种十分巧妙的办法
分马的故事，据说己经在全世界流传上千年之久了。在流传过程中有一些 变化。例如，有一本书讲到这个故事时，讲的就是老人共有十九匹马，遗嘱要求 分给长子二分之一，分给次子四分之一，分给幼子五分之一。处理办法也是从别 人家借来一匹马，分完再还给人家。 张景中老师所著《数学传奇》一书指出，像上面这样改变一下数字的， 共可以有七种变化，就是说，这个故事可以有七种讲法。如果在每一种讲法中把 马的总匹数记为n,把三兄弟分得的比例记为1/X:1/N:1/Z,则可以列表如 下： 讲 ② ③ ⑤ 法 X 2 2 2 2 2 3 4 4 Z 8 9 12 6 8 41 23 17 11 19 11 7 上述七种讲法都是关于可以用“借来一匹马，按规定的比例分配后恰好剩 下一优.面还回去”的九法来解的。按本节前面所术，这些讲法都是合理的。 笔者还听到过这样一种讲法：老人共有十七匹马，临终前他留下遗嘱说把 一半给长子 子取走 下的 半给次子：次 子取走后把剩下的一半给幼 子。遗嘱也要求把十七匹马都分给三个儿子，而且不许杀马. 答案说：先从邻居家借来一匹马，变成18匹，老大取走一半（即9匹），还 剩9匹。然后再从邻居家借来一匹马，变成10匹，老二取走一半（即5匹）， 还剩5匹。然后又从邻居家借来一匹马，变成6匹，老三取走一半（即3匹）。 最后剩下3匹还给邻居。 这种讲法也很有趣，可是在笔者看来，这种讲法在数学上就不如上面列出 的七种讲法那么合理了：虽然也把17匹马都分给了三个儿子，而且没有杀马， 但是三次借马凑出三个二分之一，很难说是符合遗嘱要求的。因而这种讲法只能 算是一个智力游戏，算不上真正的数学
分马的故事，据说已经在全世界流传上千年之久了。在流传过程中有一些 变化。例如，有一本书讲到这个故事时，讲的就是老人共有十九匹马，遗嘱要求 分给长子二分之一，分给次子四分之一，分给幼子五分之一。处理办法也是从别 人家借来一匹马，分完再还给人家。 张景中老师所著《数学传奇》一书指出，像上面这样改变一下数字的，一 共可以有七种变化，就是说，这个故事可以有七种讲法。如果在每一种讲法中把 马的总匹数记为 n ，把三兄弟分得的比例记为 1/X∶1/Y∶1/Z， 则可以列表如 下: 讲 法 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ X 2 2 2 2 2 2 2 Y 3 3 3 3 4 4 4 Z 7 8 9 12 5 6 8 n 41 23 17 11 19 11 7 上述七种讲法都是关于可以用“借来一匹马,按规定的比例分配后恰好剩 下一匹,再还回去”的办法来解的。按本节前面所述,这些讲法都是合理的。 笔者还听到过这样一种讲法:老人共有十七匹马,临终前他留下遗嘱说把 一半给长子;长子取走后,把剩下的一半给次子；次子取走后把剩下的一半给幼 子。 遗嘱也要求把十七匹马都分给三个儿子,而且不许杀马. 答案说:先从邻居家借来一匹马,变成 18 匹,老大取走一半（即 9 匹），还 剩 9 匹。然后再从邻居家借来一匹马，变成 10 匹，老二取走一半（即 5 匹）， 还剩 5 匹。然后又从邻居家借来一匹马，变成 6 匹，老三取走一半（即 3 匹）。 最后剩下 3 匹还给邻居。 这种讲法也很有趣，可是在笔者看来，这种讲法在数学上就不如上面列出 的七种讲法那么合理了；虽然也把 17 匹马都分给了三个儿子，而且没有杀马， 但是三次借马凑出三个二分之一，很难说是符合遗嘱要求的。因而这种讲法只能 算是一个智力游戏，算不上真正的数学
