《竞赛数学》课程教学资源（阅读文章）费尔马大定理及其证明.pdf_大学文库

费尔马大定理及其证明近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难颗。 300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家弹精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在 1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是 “20世纪最重大的数学成就”。费尔马大定理的由来故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。 1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定 2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和：任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如x+y=z'的方程，当n大于2时没有正整数解。费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王” 1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。他酷爱数学，把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理。由于他思维敏捷，记忆力强，又具备研究数学所必须的顽强精神，所以，获得了丰硕的成果，使他跻身于17世纪大数学家之列。艰难的探素起初，数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”，但是谁也没有成功。著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x3+y=z和x+y'=z不可能有正整数解

费尔马大定理及其证明近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。 300 多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在 1995 年揭开，被 4 3 岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是 “ 20 世纪最重大的数学成就 ”。费尔马大定理的由来故事涉及到两位相隔 1400 年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元 250 年前后。 1637 年， 3 0 来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x 2＋ y 2 ＝ z 2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“ 任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。 1670 年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如 x n + yn =z n 的方程，当 n 大于 2 时没有正整数解。费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“ 业余数学家之王 ”。 1601 年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从 1648 年起，担任图卢兹市议会议员。他酷爱数学，把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理。由于他思维敏捷，记忆力强，又具备研究数学所必须的顽强精神，所以，获得了丰硕的成果，使他跻身于 17 世纪大数学家之列。艰难的探索起初，数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“ 美妙证法 ”，但是谁也没有成功。著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x 3 +y3 =z 3 和 x 4 +y4 = z 4 不可能有正整数解

因为任何一个大于2的整数，如果不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数。因此，只要能证明n=4以及n是任一奇素数时，方程都没有正整数解，费尔马大定理就完全证明了 1=4的情形已经证明过，所以，问题就集中在证明等于奇素数的情形了。在欧拉证明了n=3,n=4以后，1823年和1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了n=5的情形，1839年拉梅证明 =7的情形。就这样，一个一个奇素数证下去的长征便开始了其中，德国数学家库默尔作出了重要贡献。他用近世代数的方法，引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念，指出费尔马大定理只可能在·等于某些叫非正则素数的值时，才有可能不正确，所以只需对这些数进行研究。这样的数在100以内，只有 67三个 ,他还具体证明了是不可能有正整数解的。这就把费尔马大定理门 37、 59、67 方程x+y 下推进到n在100 以内都是成立的。库默尔“成批地”证明了定理的成立，人们视之为一次重大突破。1857年，他获得巴察科学院的金质奖章。这一“长征”式的证法虽然不断地刷新着记录，如1992 年更进到n=1000000,但这不等于定理被证明。看来，需要另辟蹊径。 10万马克奖给谁从费尔马时代起，巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金奖励证马大定理的人重金，但都无结果。1908年，德国数学家佛尔夫斯克尔逝世的时候，将他的10 万马克赠给了德国哥庭根科学会，作为费尔马大定理的解答奖金。哥庭根科学会宣布，奖金在100年内有效。哥庭根科学会不负责审查稿件。 10万马克在当时是一笔很大的财富，而费尔马大定理又是小学生都能听懂题意的问题。于是，不仅专搞数学这一行的人，就连很多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和一般市民，都在钻研这个问题。在很短时间内，各种刊物公布的证明就有上干个之多当时，德国有个名叫《数学和物理文献实录》的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定，到1911年初为止，共审查了111个“证明”，全都是错的。后来实在受不了沉重的审稿负担，于是它宣布停止这一审查鉴定工作但是证明的浪朝仍汹涌澎虽然两次世界大战后德国的货币多次大幅度贬值，当初的10万马克折算成后来的马克已无多大价值。但是，热爱科学的可贵精神，还在鼓励着很多人继续从事这一工作

因为任何一个大于 2 的整数，如果不是 4 的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数。因此，只要能证明 n＝ 4 以及 n 是任一奇素数时，方程都没有正整数解，费尔马大定理就完全证明了。 n＝ 4 的情形已经证明过，所以，问题就集中在证明 n 等于奇素数的情形了。在欧拉证明了 n＝ 3， n＝ 4 以后， 1823 年和 1826 年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n＝ 5 的情形， 1839 年拉梅证明了 n＝ 7 的情形。就这样，一个一个奇素数证下去的长征便开始了。其中，德国数学家库默尔作出了重要贡献。他用近世代数的方法，引入了自己发明的 “ 理想数 ” 和 “ 分圆数 ” 的概念，指出费尔马大定理只可能在 n 等于某些叫非正则素数的值时，才有可能不正确，所以只需对这些数进行研究。这样的数，在 100 以内，只有 37、59、67 三个。他还具体证明了当 n＝ 37、59、67 时，方程 x n +yn =z n 是不可能有正整数解的。这就把费尔马大定理一下推进到 n 在 100 以内都是成立的。库默尔 “ 成批地 ” 证明了定理的成立，人们视之为一次重大突破。 1857 年，他获得巴黎科学院的金质奖章。这一“长征”式的证法，虽然不断地刷新着记录，如 1992 年更进到 n＝ 1000000，但这不等于定理被证明。看来，需要另辟蹊径。 10 万马克奖给谁从费尔马时代起，巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，奖励证明费尔马大定理的人，布鲁塞尔科学院也悬赏重金，但都无结果。 1908 年，德国数学家佛尔夫斯克尔逝世的时候，将他的 10 万马克赠给了德国哥庭根科学会，作为费尔马大定理的解答奖金。哥庭根科学会宣布，奖金在 100 年内有效。哥庭根科学会不负责审查稿件。 10 万马克在当时是一笔很大的财富，而费尔马大定理又是小学生都能听懂题意的问题。于是，不仅专搞数学这一行的人，就连很多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和一般市民，都在钻研这个问题。在很短时间内，各种刊物公布的证明就有上千个之多。当时，德国有个名叫《数学和物理文献实录》的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定，到 1911 年初为止，共审查了 111 个“ 证明 ”，全都是错的。后来实在受不了沉重的审稿负担，于是它宣布停止这一审查鉴定工作。但是，证明的浪潮仍汹涌澎湃，虽然两次世界大战后德国的货币多次大幅度贬值，当初的 10 万马克折算成后来的马克已无多大价值。但是，热爱科学的可贵精神，还在鼓励着很多人继续从事这一工作

姗来迟的证明经过前人的努力，证明费尔马大定理取得了许多成果，但离定理的证明，无疑还有遥远的距离。怎么办？来必须要用一种新的方法，有的数学家用起了传统的办法一一转化问题。人们把手番图方程的解与代数曲线上的某种点联系起来，成为一种代数几何学的转化重要的猜想。：“设F(x,y)是两个变数x、y的有理系数多项式，那么当曲线F(x,y)=0的亏格（一种与曲线有关的量）大于1时，方程F(x,y)=0至多只有有限组有理数”。1983年，德国29岁的数学家法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代数几何上的一系列结果证明了莫德尔猜想。这是费尔马大定理证明中的又 ·次重大突破去尔廷斯获得了1986年的菲尔兹奖。维尔斯仍采用代数几何的方法去攀登，他把别人的成果奇妙联系起来，并且吸取了走过这条道路的攻克者的经验教训，注高到条崭新迂回的路径：如果谷山志村猜想成立那么费尔马定理一定成立。这是1988年德国数学家费雷在研究日本数学家谷山一志村于1955年关于椭圆函数的一个猜想时发现的。维尔斯出生于英国牛津一个神学家庭，从小对费尔马大定理十分好奇、感兴趣，这条美妙的定理导致他进入了数学的殿堂。大学毕业以后，他开始了幼年的幻想，决心去圆童年的梦。他极其秘密地进行费尔马大定理的研究，守口如瓶，不透半点风声穷七年的锲而不舍，直到1993年6月23日。这天，英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会。报告人维尔斯将他的研究成果作了长达两个半小时的发言。10点30分，在他结束报告时，他平静地宣布：“因此，我证明了费尔马大定理”。这句话像一声惊雷，把许多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大厅时鸦雀无声。半分钟后，雷鸣般的学声似乎要锨翻大厅的屋顶，英国学者顾不得他们优雅的绅士风度，忘情地欢腾着消息很快轰动了全世界。各种大众传媒纷纷报道，并称之为“世纪性的成就”。人们认为，维尔斯最终证明了费尔马大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。可、久 ,传媒又迅速地报出了一个“爆炸性”新闻：维尔斯的长达200 页的论文送交审查时，却被发现证明有漏洞维尔斯在挫折面前没有止步，他用一年多时间修改论文，补正漏洞。这时他已是“为伊消得人憔悴”，但他“衣带渐宽终不悔”。1994年9月，他重新写出一篇108页的论文，寄往美国。论文顺利通过审查，美国的《数学年刊》

姗姗来迟的证明经过前人的努力，证明费尔马大定理取得了许多成果，但离定理的证明，无疑还有遥远的距离。怎么办？来必须要用一种新的方法，有的数学家用起了传统的办法 — — 转化问题。人们把丢番图方程的解与代数曲线上的某种点联系起来，成为一种代数几何学的转化，而费尔马问题不过是丢番图方程的一个特例。在黎曼的工作基础上， 1922 年，英国数学家莫德尔提出一个重要的猜想。：“ 设 F（ x， y）是两个变数 x、 y 的有理系数多项式，那么当曲线 F（ x，y）= 0 的亏格（一种与曲线有关的量）大于 1 时，方程 F（ x， y）＝ 0 至多只有有限组有理数 ”。 1983 年，德国 29 岁的数学家法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代数几何上的一系列结果证明了莫德尔猜想。这是费尔马大定理证明中的又一次重大突破。法尔廷斯获得了 1986 年的菲尔兹奖。维尔斯仍采用代数几何的方法去攀登，他把别人的成果奇妙地联系起来，并且吸取了走过这条道路的攻克者的经验教训，注意到一条崭新迂回的路径：如果谷山 — — 志村猜想成立，那么费尔马大定理一定成立。这是 1988 年德国数学家费雷在研究日本数学家谷山 — — 志村于 1955 年关于椭圆函数的一个猜想时发现的。维尔斯出生于英国牛津一个神学家庭，从小对费尔马大定理十分好奇、感兴趣，这条美妙的定理导致他进入了数学的殿堂。大学毕业以后，他开始了幼年的幻想，决心去圆童年的梦。他极其秘密地进行费尔马大定理的研究，守口如瓶，不透半点风声。穷七年的锲而不舍，直到 1993 年 6 月 23 日。这天，英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会。报告人维尔斯将他的研究成果作了长达两个半小时的发言。10 点 30 分，在他结束报告时，他平静地宣布：“因此，我证明了费尔马大定理”。这句话像一声惊雷，把许多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大厅时鸦雀无声。半分钟后，雷鸣般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶。英国学者顾不得他们优雅的绅士风度，忘情地欢腾着。消息很快轰动了全世界。各种大众传媒纷纷报道，并称之为“世纪性的成就”。人们认为，维尔斯最终证明了费尔马大定理，被列入 1993 年世界科技十大成就之一。可不久，传媒又迅速地报出了一个“爆炸性”新闻：维尔斯的长达 200 页的论文送交审查时，却被发现证明有漏洞。维尔斯在挫折面前没有止步，他用一年多时间修改论文，补正漏洞。这时他已是“为伊消得人憔悴”，但他“衣带渐宽终不悔”。1994 年 9 月，他重新写出一篇 108 页的论文，寄往美国。论文顺利通过审查，美国的《数学年刊》