第七讲 §3.逆矩阵 一逆矩阵 定义8.设A为n阶方阵，如果有一个n阶方阵B, 使 AB=BA三E 则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵A的 逆记之为A1
第七讲 §3.逆矩阵 一.逆矩阵 定义8. 设 A 为 n 阶方阵，如果有一个 n 阶方阵 B， 使 AB = BA = E, 则称矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.A的 逆记之为A-1
二. 逆矩阵是唯一的 证明：设B和C都是A的逆矩阵，则 B=BE=B (AC) =(BAC=EC =C 所以A的逆矩阵是唯一的
二. 逆矩阵是唯一的. 证明：设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则 B = BE = B (AC ) = ( BA ) C = EC = C 所以A的逆矩阵是唯一的
三.逆矩阵的有关定理 定理1.方阵A可逆的充分必要条件是A卡0，且 其中 A A nn 称为A的伴随矩阵.A*中元素是A的所有元素的代数 余子式
三. 逆矩阵的有关定理 定理1. 方阵 A 可逆的充分必要条件是 |A| ≠ 0 ,且 , −1 1 = A A A 其中 n n n n n n A A A A A A A A A 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 = A 称为 A 的伴随矩阵. A*中元素是A 的所有元素的代数 余子式
证明： 必要性：因为A可逆， 则有A,使A4=E 1A4=E=1 所以A≠O
证明： 必要性: 因为A可逆， 则有 A −1 ,使 AA = E −1 1 1 = = − A A E 所以 A 0
充分性：由于 a 2 AA= 422 0 n2 .o A -AB
充分性: 由于 = AA n n n n n n n n n n n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = A A A 0 0 0 0 0 0 = A E
同理AA=AE,所以 AA=AA=AE. 因为 4≠O.所以 A-E 由定义，知A
同理 所以 AA = A A = AE. 因为 A 0. A E A A A A A = = . −1 1 = A A A 所以 由定义，知 A A A E , =
推论：若AB=E(或BA=E), 则B=A 证明：AB=E=1.故A≠0 因而A存在，于是 B=EB=(AAB =A(AB=AE =A
推论：若 AB = E (或 BA = E）， . −1 则B = A 证明： A B = E =1. A 0, −1 A B EB (A A)B −1 = = A AB A E 1 1 ( ) − − = = 故 因而 存在，于是 1 A − =
运算律 1)若A可逆，则A亦可逆，且 (A)= 2)若A可逆，数入≠0，则2A可逆，且 3)若A,B为同阶的可逆矩阵，则AB也可逆，且 (AB=B-A- 证明： (AB)(BA-1)=A(BB-1)A- -AEA-AA-E 由推论，即有(AB)=BA1
运算律 1）若A可逆，则 亦可逆，且 2）若A可逆，数 ，则λA可逆，且 3）若 A,B 为同阶的可逆矩阵，则 AB 也可逆，且 证明： 由推论，即有 −1 A ( ) ; 1 1 A = A − − 0 ( ) ; −1 1 −1 A = A ( ) . −1 −1 −1 AB = B A = AEA = AA = E −1 −1 ( ) −1 −1 −1 AB = B A ( AB )( B-1A-1 ) = A( BB-1 ) A-1