复习1、初等变换 2、用初等变换求矩阵的秩 设 -2 2 -4 2 A- -2 3 3 -6 求R(A)和R(Ab)
复习 1、初等变换 2、用初等变换求矩阵的秩 设 1 2 2 1 2 4 8 0 , 2 4 2 3 3 6 0 6 A= − − − − − − − 1 2 . 3 4 b = 求R(A)和R(A┆b)
§3 线性方程组的解 一、线性方程组解的存在性 定理2n元齐次线性方程组Am×x三0有非零 解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(4) n 证明：先证必要条件.设方程组Ax=0有非 零解。（用反证法）假设R(A)=n,则在A中 应有一个n阶非零子式Dn,从而Dn所对应的n个 方程只有零解（根据Cramer法则）。这与方程组 有非零解相矛盾。因此R(A)=不能成立。故 有R(A)<n
§3 线性方程组的解 ⚫ 一、线性方程组解的存在性- 定理2 n元齐次线性方程组 Am×nx = 0有非零 解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) ＜ n. 证明：先证必要条件．设方程组Ａx＝０有非 零解。（用反证法）假设Ｒ（Ａ）＝n，则在Ａ中 应有一个 n 阶非零子式Ｄn，从而Ｄn所对应的 n个 方程只有零解（根据Ｃramer法则）。这与方程组 有非零解相矛盾。因此Ｒ（Ａ）＝n不能成立。故 有Ｒ（Ａ）＜n．
再证充分性。设R(A)=r<,则A的行阶梯 形矩阵只含有r个非零行，从而知：其有一个自由未 知量。任取一个自由未知量为1，其余的未知量都为 零，即可得到方程组的一个非零解
再证充分性。设Ｒ（Ａ）＝r＜n，则Ａ的行阶梯 形矩阵只含有r个非零行，从而知：其有n－r个自由未 知量。任取一个自由未知量为 1 ，其余的未知量都为 零，即可得到方程组的一个非零解
定理3n元非齐次方程组Ax三b有解的充分 必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B三(A,b) 的秩。 证明 必要性。设方程组Ax=b有解，要证 R(A)=R(B)。(反证法)设R(A)<R(B),则B的行阶 梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1，这 与方程组有解矛盾。因此(A)=R(B)
定理３ n元非齐次方程组Ａx＝ｂ有解的充分 必要条件是系数矩阵Ａ的秩等于增广矩阵Ｂ＝(Ａ,ｂ) 的秩。 证明 必要性。设方程组Ａx＝ｂ有解，要证 R(A) = R(B)。（反证法）设R(A) ＜ R(B), 则 B的行阶 梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 0 = 1，这 与方程组有解矛盾。因此R(A) = R(B)
充分性。证明方程组有解。设R(A)=R(B)=r(), 把B化为行阶梯形矩阵，则B的行阶梯形矩阵中含·个非 零行。把这个非零行的第一个非零元素所对应的未知量 作为非自由的未知量，其余一r个作为自由未知量，并 令n一r个自由未知量全取零。即可得方程组的一个解。 注意：1)当R4)=R(B)=n时，方程组没有自由未知 量，故只有唯一解。 2)当RA)=R(B)=Kn时，方程组有n一r个 自由未知量，故有无穷多解
充分性。证明方程组有解。设R(A) = R(B) = r (r≤n) , 把B化为行阶梯形矩阵，则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非 零行。把这 r个非零行的第一个非零元素所对应的未知量 作为非自由的未知量，其余 n－ r 个作为自由未知量，并 令 n－ r 个自由未知量全取零。即可得方程组的一个解。 注意：1）当 R(A) = R(B) = n 时，方程组没有自由未知 量，故只有唯一解。 2）当 R(A) = R(B) = r< n时，方程组有 n－ r 个 自由未知量，故有无穷多解
二、线性方程组的解法 线性方程组的解题步骤： 1)Ax=0 只要把它的系数矩阵化为行的最简形矩阵，把以行 最简形矩阵中非零行的第一个非零元1为系数的未知数 留在等号左端，其余的移到等号的右端，再表示成通解 2)Ax=b 只要把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵，由定理3， 判断它是否有解。若有解，则对增广矩阵进一步化成行 最简形矩阵。把行最简形矩阵中非零行第一个非零元素 1为系数的未知数留在等号左端，其余均移到等号右端。 再表示成通解
线性方程组的解题步骤： ⚫ 1) Ax = 0 ⚫ 只要把它的系数矩阵化为行的最简形矩阵，把以行 ⚫ 最简形矩阵中非零行的第一个非零元 1为系数的未知数 ⚫ 留在等号左端，其余的移到等号的右端，再表示成通解. 2）Ax = b 只要把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵，由定理 3， 判断它是否有解。若有解，则对增广矩阵进一步化成行 最简形矩阵。把行最简形矩阵中非零行第一个非零元素 1为系数的未知数留在等号左端，其余均移到等号右端。 再表示成通解。 二、线性方程组的解法
例1求解齐次线性方程组 x1+2x2+2x3+x4=0 2x1+x2-2x3-2x4=0 x1-x2-4x3-3x4=0 解对系数矩阵A施以初等行变换为行最简形矩阵： 2 2 A=2 -2 1 -4 -3 14-30 4/3
例1 求解齐次线性方程组 − − − = + − − = + + + = 4 3 0 2 2 2 0 2 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对系数矩阵A施以初等行变换为行最简形矩阵: − − − = − − 1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 A − − − − − − 0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 ~ 0 0 0 0 3 4 0 1 2 1 2 2 1 ~ − − 0 0 0 0 0 1 2 4 3 1 0 2 5 3 ~
-5/3 4/3 即得到与原方程组的同解方程组 5 x-2x3 4=0 4 x+2x,+3x=0 =2x+ -XA 即 x3x4可以任意取值 4 x2=-2x3
− − 0 0 0 0 0 1 2 4 3 1 0 2 5 3 ~ 即得到与原方程组的同解方程组 + + = − − = 0 3 4 2 0 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 即 = − − = + 2 3 4 1 3 4 3 4 2 3 5 2 x x x x x x x3 ,x4 可以任意取值
令x3=k1,x4=2,把它写成 参数形式 2k- 其中k,,为任意实数
令x3 = k1 , x4 = k2 , 把它写成 参数形式 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 5 2 3 4 2 3 x k k x k k x k x k = + = − − = = 其中 k1 , k2 , 为任意实数