§3相似矩阵 一、相似矩阵的概念 定义7.设A,B都是阶方阵，若存在可逆矩阵P使 PAP=B 则称B是A的相似矩阵，或说B与A相似.对A进行运算PAP 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变 换矩阵.记作A∽B 二、相似矩阵的性质 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有以下性质：
§3 相似矩阵 一、相似矩阵的概念 定义7.设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P使 则称B是A的相似矩阵,或说B与A相似. 称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变 换矩阵.记作A∽B 二 、相似矩阵的性质 相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有以下性质: P AP = B −1 A P AP 对 进行运算 −1
1)反身性：任意方阵A,都有A∽A: 2)对称性：若A∽B,则B∞A; 3)传递性：若A∽B,B∽C,则AC。 证前两条显然现在证第三条，由定义存在可逆阵 P和P,使 B=AP,C=PBP,所以 C=P(PAP)P =P PAPP =(PPPA(PP2〉 故 A∽C
1) 反身性 :任意方阵A,都有A∽A； 2) 对称性 :若A∽B,则B∽ A； 3) 传递性:若A∽B,B∽C,则 A∽ C。 证 前两条显然.现在证第三条,由定义存在可逆阵 故 A∽ C P1 和P2 ,使 1 2 1 1 1 2 C P (P AP )P − − = 1 2 1 1 1 P2 P AP P − − = ( ) ( ) 1 2 1 P1 P2 A P P − = 1 1 1 1 2 2 B P AP C P BP , − − = = , 所以
三、相似矩阵的定理 定理3若阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同 从而A与B的特征值相同 证因A与B相似，即有可逆矩阵P,使PAP=B故 B-XE=PAP-P-QE)P=P(A-XE)P =PA-入EP=A-E 故矩阵A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值 推论若n阶矩阵A与对角矩阵 相似
三、相似矩阵的定理 定理3 若阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同, 从而A与B的特征值相同. 证 因A与B相似,即有可逆矩阵P, 故矩阵A与B有相同的特征多项式,从而有相同的特征值. 推论 若n阶矩阵A与对角矩阵 = n 2 1 相似, 使P −1 AP = B 故 B E P AP P (E)P −1 −1 − = − = P (A− E)P −1 = P A− E P −1 = A−E
则入，入2，，入n是A的个特征值 证显然入1,2，…，入n是A的n个特征值，由定理3知， 1,2,…,入n是A的n个特征值. 容易推证：若A=PBP,则A=PBP1 (A)=Po(B)P- 特别，若有可逆矩阵P,使P1AP=△为对角矩阵，则 =PP1,0(④)=P0△)P而对于对角矩阵A,有 0(入) 0(入2)
容易推证: 特别,若有可逆矩阵P, 而对于对角矩阵Λ,有 , 2 1 = k n k k k ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 n , , , . 则1 2 n 是A的n个特征值 1 1 , − − A = PBP A = PB P 若 则 k k ( ) ( ) −1 A = P B P 使P −1 AP = 为对角矩阵,则 ( ) ( ) 1 1 , − − A = P P A = P P k k 证 显然 λ1 , λ2 ,… , λn 是Λ的n个特征值，由定理3知， λ1 ,λ2 ,… , λn是A的n个特征值．
由此可方便计算出A的多项式φ(A) 有一个很有趣的结论：设f)是矩阵A的特征多项式， 则f(4)=0,这个结论的证明比较困难，但若A与对角矩阵相 似，则容易证明结论.这是因为：若A与对角矩阵相似，即有 可逆矩阵P使 PAP=A =diag(1,入2…，入n),其中2，为的特征值， 有f(入)=0.由A=PP1,有 f(入，) f(A)=D(∧)P=P POP=O
由此可方便计算出A的多项式φ(A) 有一个很有趣的结论: 设f (λ)是矩阵A的特征多项式， 则f (A) = 0 ,这个结论的证明比较困难 ,但若A与对角矩阵相 似,则容易证明结论.这是因为：若A与对角矩阵相似,即有 可逆矩阵P,使 有f (i ) = 0.由A = PP -1 ,有 -1 f (A) = Pf ()P 1 1 ( ) ( ) - P P = n f f = POP = O −1 ( , , ), 1 2 n = diag P-1AP = Λ 其中λi为的特征值
定理4阶方阵A与对角矩阵相似(A能对角化)的充分 必要条件是A有n个线性无关的特征向量 证必要性若n阶方阵A与对角阵 相似，则存在可逆矩阵P使 P1AP=Λ=
定理4 n阶方阵A与对角矩阵相似 (A能对角化)的充分 必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 证 必要性 若 n 阶方阵A与对角阵 = n 2 1 相似,则存在可逆矩阵P,使 = = n 2 1 P A P -1
将P按列分块，得 P=(P,P,,P) 其中P,P,,P是矩阵P的n个列向量，把AP-P4改写成 A(R,B,,B)=(R,B,,B AR,AB,,AP)=(入P,入2P,…,入，P） 所以 AP=入，P) 故P(j=1,2,,)是A的特征值入，所对应的特征向量， 因为P可逆，所以P,P，…,P线性无关 即P,P,…,Pn是A的n个线性无关的特征向量
将P按列分块,得 ( ) 1 Pn P P , P , , = 2 把AP=PΛ改写成 A(P1 , P2 , , Pn ) = n 2 1 (A P1 ,A P2 , ,A Pn ) = ( ) 1 1 n Pn P , P , , 2 2 ( ) 1 Pn P , P , , 2 所以 A Pj = j P j 故P j ( j =1,2, ,n)是A的特征值 j 所对应的特征向量， , , , , , 因为P可逆 所以P1 P2 Pn 线性无关 , , , . 即P1 P2 Pn 是A的n个线性无关的特征向量 其中 是矩阵 的 个列向量， P , P , , P P 1 2 n n
充分性：若A有n个线性无关的特征向量P,P,…,P 则 AP=入，P ，(j=1,2…,n 令P=(P,P,,Pn),则P为可逆矩阵 因为AP=AP,P,,Pn) =(AR,AB,,AB) =(入P,入2，，入nPn》
充分性: , , , , 若 有 个线性无关的特征向量 A n P P P 1 2 n 则 ( j =1,2, ,n) 因为 AP = ( ) 1 A Pn A P ,A P , , = 2 ( ) 1 1 n P n P , P , , = 2 2 A Pj = j P j ( ), . 令P = P1 , P2 , , P n 则P为可逆矩阵 ( ) 1 P n A P , P , , 2
=(P,P,,Pn) 即AP=P∧，所以P-1AP=∧。 推论如果n阶方阵A有n个不同的特征值，则A能与对角 阵∧相似
( ) 1 P n P , P , , = 2 n 2 1 = P n 2 1 即 AP = PΛ , 所以P –1AP =Λ。 推论 如果n阶方阵A有n个不同的特征值,则A能与对角 阵Λ相似