吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 57-5-习题课

第五章， 相似矩阵及二次型 习题课 术洪亮

第五章 相似矩阵及二次型 习题课 术洪亮

本章中我们主要介绍了 1.方阵的特征值与特征向量 2.相似矩阵，尤其是对称矩阵 的相似矩阵； 3.化二次型为标准形的方法 特别是利用正交变换化二 次型为标准形， 并且给出了一种求正交向量组的方法， 施密特(Schimidt)正交化方法

本章中我们主要介绍了 1. 方阵的特征値与特征向量; 2. 相似矩阵,尤其是对称矩阵 的相似矩阵; 3. 化二次型为标准形的方法, 特别是利用正交变换化二 次型为标准形. 并且给出了一种求正交向量组的方法, 施密特(Schimidt)正交化方法

求一组非零向量a2,&3 使4，a2,两两正交 ,C2,&与c,正交 解 ∴&&2=0：&3=0 即a2,a为方程ax=0的解，其中x= X2 亦即方程x+X2+x?=0 显然，方程组的基础解系为 5=(10-1),52=(01-1)

例1. 2 3 1 , 0 T x x x x x        =       1 2 3 即 为方程 的解，其中 = . , 1 1 1 1 2 3 1 2 3 使 ， ， 两两正交 已知 求一组非零向量 ， ，                 = 2 3 1 1 2 1 3 , 0 0 T T     = =     与 正交， ； 解 1 2 (1 0 1 , 0 1 1 ) ( ) T T   = − = − 亦即方程 显然，方程组的基础解系为 1 2 3 x x x + + = 0

把基础解系正交化： a2=5, 4,=5- 于是 即为所求

2 1 1 2 2 1 3 2        T = ， = − 把基础解系正交化： . 2 1 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 1 0 1 2 3 即为所求 ， 于是，               − − =           − −           − =           −  = 

例2. 设0是矩阵 的特征值，求α.再求A的其他特征值 解由于0是A的特征值，所以 A=0 而A=2(a-1)=0,从而 a=1 又因为4-E=(2-2)2,故21=0，元2=23=2， 所以，A的其他特征值为2

例2. . . 1 0 0 2 0 1 0 1 0 的特征值，求 再求 的其他特征值 设 是矩阵 a A a A           = 2. ( 2) 0 2 2( 1) 0 1 . 0 0 1 2 3 2 所以， 的其他特征值为 又因为 ，故 ， ， 而 ，从而 解 由于 是 的特征值，所以 ， A A E A a a A A − = − = = = = − = = =      

例3. 设 23 A= 求A的全部特征值和对应的特征向量 解：(1) 求A的特征值 1-入 2 f(A)=A-= -λ 2 2 5- 2 2

例3. . 2 2 1 2 1 2 1 2 2 求 的全部特征值和对应的特征向量 设 A A           =           − − − − − = − − − = − = 5 2 1 5 1 2 5 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) 1 . f A E 解：（）求A的特征值

/1 2 2 1- 2 2 1- 1 2 2 =(2-5)0 --1 0 0 -λ-1 =(2-5(元+1)2 所以，A的特征值为 21=5,九2=九3=-1

   − = − − 1 2 1 1 1 2 1 2 2 (5 ) 2 ( 5)( 1) 0 0 1 0 1 0 1 2 2 ( 5) = − + − − = − − −      5 1 1 = ，2 = 3 = − 所以，A的特征值为

(2)求A的特征值所对应的特征向量 当21=5时， 2 2 4-5E= 2 2 72 2

(2)求A的特征值所对应的特征向量.           − − −           − − − − = = 4 2 2 2 4 2 2 2 4 ~ 2 2 4 2 4 2 4 2 2 5 1 5 A E 当 时

故 (A-5E)x=0的基础解系为 P= 所以 矩阵A对应于特征值入，=5的全部特征向量为 kP k,∈R

          − = =           − −           − − −           − − − 1 1 1 5 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 ~ 0 3 3 0 3 3 1 1 2 ~ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ~ P1 故 （A E）x 的基础解系为 k P k  R = 1 1 1 1 , 矩阵A对应于特征值 5的全部特征向量为 所以 

当入=2=-时， 722 2 A+E= 2 2 22 2 000 所以 (-E-A)x=O的基础解系为 B-6 P 故，矩阵A对应于特征值22=2=-1的 全部特征向量为 k2P2+k3P,k2,k3∈R

当2 = 3 = −1时，                     + = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ~ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A E          − =          − = − − = 1 0 1 , 0 1 1 0 P2 P3 所以 （ E A）x 的基础解系为 k P + k P k k  R = = − 2 2 3 3 2 3 2 3 , , A 1 全部特征向量为 故，矩阵 对应于特征值  的