第二节Newnon-Cotes型求积公式 公式的一般形式 二、常用的 Newton-Cotes 公式 三、小结
第二节 Newnon-Cotes型求积公式 一、 公式的一般形式 二、常用的 Newton Cotes − 公式 三、小结
公式的一般形式 据插值理论可知，若给定函数f在区间[a,b] 上n+1个互异点处的值y(k=0,1,,m),则可以用插值 多项式近似地把∫(x)表示出来。 由于多项式是一个十分简单的不但计算方便，求 积分也很方便，因此我们用
一、 公式的一般形式 由于多项式是一个十分简单的不但计算方便，求 积分也很方便，因此我们用 据插值理论可知，若给定函数 f x( ) 在区间 a b, 上 n +1 个互异点处的值 y k n k ( 0,1, , ) = ， 则可以用插值 多项式近似地把 f x( ) 表示出来
Lagrange插值多项式P,(x)代替被积函数f(x): f(x)=P,(x)+R(x) 由于 -0号 于是(2.2)式成为 心fd=∑nm+心R X一X
Lagrange 插值多项式 P x n ( ) 代替被积函数 f x( ) ： ( ) ( ) ( ) n n f x P x R x = + (2.1) 由于 ( ) 0 0 n n j n k k j k j j k x x P x y = = x x − = − 于是 (2.2) 式成为 0 0 ( ) ( ) n n b b b j k n a a a k j k j j k x x f x dx y R dx = = x x − = + −
若记 (2.3) 1=0 Xk-X E[]=["R,()dx (2.4) 则有-A+V (2.5) 取∑4作为积分()的近似值，则得插值求积分 公式
若记 0 n b j k a j k j j k x x A dx = x x − = − (2.3) ( ) b n a E f R x dx = (2.4) 则有 0 ( ) n b k k a k f x A y E f = = + (2.5) 取 作为积分 的近似值，则得插值求积分 0 n k k k A y = (1.1) 公式
心xdAn (2.6) = 其中，y=f(x) 若假定求积公式的节点x为等距分布， =a+h=b-a.k=0.1..m 则插值求积公式(2.6)就叫做Newton-Cotes公式。此时 令x=a+h,便有
其中， ( ) k k y f x = 若假定求积公式的节点 xk 为等距分布， , , 0,1, k b a x a kh h k n n − = + = = (2.6) 0 ( ) n b k k a k f x dx A y = 则插值求积公式 (2.6) 就叫做 Newton Cotes − 公式。此时 令 x a th = + ，便有
4=2g4=0-c网 ≠k 少-e-心 (2.7) 从而(2.6)成为 心fxdb-a2cy (2.8 其中C”通常称为Coes系数
( ) 0 0 ( ) n n n k k j j k b a t j A dt b a C n k j = − − = = − − ( ) 0 0 0 0 1 ( 1) ( ) !( )! n n n k n n n k j j j k j k t j C dt t j dt n k j k n k n − = = − − = = − − − (2.7) 从而 (2.6) 成为 ( ) 0 ( ) ( ) n b n k k a k f x dx b a C y = − (2.8) 其中 通常称为 系数。 ( ) n Ck Cotes
由定义1可知，Newton-Coes公式的代数精度至少 是n次，进一步可以证明当n是偶数时Newton-Cotes 公式的代数精度可达到n+1次。 二、常用的ewton-Cotes 公式 1、梯形公式 在Newton--Cotes公式(2.8)中，取n=1时，由 (2)知C0=C")=2,故有 7w:2oj+o-7 (2.9
n +1 n 由定义1可知 Newton Cotes − Newton Cotes − ， 公式的代数精度至少 是 次，进一步可以证明当n是偶数时， 公式的 代数精度可达到 次。 二、常用的 Newton Cotes − 公式 1 、梯形公式 在 Newton Cotes − 公式 (2.8) 中，取 n = 1 时，由 (2.7) (1) (1) 0 1 1 2 知 C C= = ，故有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b a b a f x dx f a f b T − + = (2.9)
公式(2.9)称为梯形公式。它的几何意义就是用 (b-a)[f(a)+f(b) 梯形AabB的面积 2 近似代替曲边梯形的面积∫f(x)本 y=p(x) B y=f(x) a
梯形AabB 的面积 公式 (2.9) 称为梯形公式。它的几何意义就是用 ( ) ( ) ( ) 2 b a f a f b − + 近似代替曲边梯形的面积 ( ) b a f x dx 。 y f x = ( ) 1 y p x = ( ) B A a b x y 0
它的误差可由下面定理给出. 定理1若fx)在[a,b]上有三阶连续导数， 则梯形公式(2.9)的误差估计为 EVI-ea-2LVo+oj-r 12 a≤刀≤b (2.10) 证明若f(x)在[a,bL上有二阶连续导数，则 f()-R+(x-ayx-b) 2
它的误差可由下面定理给出. 定理1 若 在 上有二阶连续导数, 则梯形公式 的误差估计为 f x( ) a b, (2.9) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 b T a b a b a E f f x dx f a f b f − − = − + = − a b (2.10) 证明 若 f x( ) 在 [ , ] a b 上有二阶连续导数，则 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ). 2 f f x P x x a x b = + − −
于是有 x-aXs-bd 由于f"(5)是依赖于的函数，在[a,b]上连续， 而且(x-a)(x-b)≤0.则应用积分学中的中值定理， 在[a,b]上存在一点n，使 Xx-ax-b--aXx-b-- 证毕
于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 b b T a a b a f E f f x dx f a f b x a x b dx − = − + = − − 3 ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 b b a a b a f x a x b dx f x a x b dx f − − − = − − = − a b, 由于 f ( ) 是依赖于 x 的函数，在 a b, 上连续， 而且 则应用积分学中的中值定理， 在 上存在一点 ，使 ( )( ) 0. x a x b − − 证毕