例7. 23 设 4= 1 3 33 6 求正交矩阵P,使PAP成为对角矩阵 解 A的特征方程为 1-入2 3 f()= 2 1-λ3 3 36-入
例7. , . , 3 3 6 2 1 3 1 2 3 求正交矩阵 使 1 成为对角矩阵 设 P P AP A − = λ λ λ λ 解 的特征方程为 − − − = 3 3 6 2 1 3 1 2 3 ( ) . f A
1-入 23 2 1-23 2+23-入 元+2 0 -22+4入 0 -32-3 22-3 1 2+入 -2+3 =2(2+1D(9-2) 所以，A的特征值为 人=-1九2=0九=9
( 1)(9 ) 1 2 3 0 3 3 2 3 0 4 2 2 = + − + − + − − − + − + = + − − − = − 1 2 3 2 1 3 1 2 3 3 2 r r 1 = −1 2 = 0 3 = 9 所以，A的特征值为
当2=-时， 求解方程组(A+E)x=0, 220 基础解系为 R=
= − = − + = + = = − 0 2 1 2 1 , 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2 2 0 ~ 3 3 7 2 2 3 2 2 3 0, 1 1 1 1 P e A E A E x 基础解系为 单位化 求解方程组（ ） 当 时
当22=0时， 求解方程组(A+0E)x=0 A+0E= 基础解系奶
− − = − − = + = + = = 1 3 3 1 3 1 , 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 ~ 3 3 6 2 1 3 1 2 3 0 0 0 0 2 2 2 P e A E A E x 基础解系为 单位化， 求解方程组（ ） 当 时
当23=9时， 求解方程组(A+9E)x=0 7-8 2 3 A+9E=2 -8 0 基础解系为P= 2 图
= = − − − − − + = + = = 2 6 6 1 6 1 , 2 1 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 ~ 3 3 3 2 8 3 8 2 3 9 9 0 9 3 3 3 P e A E A E x 基础解系为 单位化， 求解方程组（ ） 当 时
令：正交矩阵P=(e,e2,e3), 即 1 一6162-6 则 w
− = − − − = = − 9 0 1 6 2 3 1 0 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 ( , , ), 1 1 2 3 P AP P P e e e 则 即 令：正交矩阵
例8. 设A是n阶正定矩阵， 证明：A+2E>2” 证一：因为A是正定矩阵，所以存在正交矩阵P,使 其中 入为矩阵A的特征值因为A是正定矩阵， 所以 2>0,(i=1,2,.,n
例8. 2 2 . n A E A n 证明： + 设 是 阶正定矩阵， = = − n P AP A P 2 1 1 证一：因为 是正定矩阵，所以存在正交矩阵 ,使 0,( 1,2, , ) . i n A A i i = 所以 其中 为矩阵 的特征值因为 是正定矩阵
而 P(A+2E)P =P-AP+P-(2E)P 2+2 =Λ+2E= 九2+2 故A+2E=P(A+2E)P =(2+2(22+2)(2n+2) 因为2>0，(i=1,2,…,n) A+2E>2
+ + + = + = = + + − − − 2 2 2 2 (2 ) ( 2 ) 2 1 1 1 1 n E P AP P E P P A E P 而 2 2 . 0,( 1,2, , ) ( 2)( 2) ( 2) 2 ( 2 ) 1 2 1 n i n A E i n A E P A E P + = = + + + + = + − 因为 故
证二：因为4是正定矩阵， 所以 A的全部特征值2，(i=1,2,…,m都大于零 又因为A+2E是矩阵A的多项式， 故A+2E的特征值为入+2(i=1,2,…,n 由矩阵的特征值与其对应的行列式值之间的关系， 可得 A+2E=(2+2(2+2)…(2n+2)>2
的全部特征值 ( 1,2, , )都大于零. 所以 证二：因为 是正定矩阵， A i n A i = 2 ( 2)( 2) ( 2) 2 . 2 2( 1,2, , ) 2 1 2 n n i A E A E i n A E A + = + + + + + = + 可得 由矩阵的特征值与其对应的行列式值之间的关系， 故 的特征值为 又因为 是矩阵 的多项式
例9.用不同方法判别 的正定性 解一：（惯性指数法） f(x1,x2,x3)=2x2+5x号+5x3+4x1x2-4xx3-8x2x3 =2(x2+2x1x2-2xx3)+5x号+5x-8x2x =2++30-尸+号
例9. . 2 4 5 2 5 4 2 2 2 的正定性 用不同方法判别 − − − − A = 2 3 2 2 3 2 1 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 3 2 2 1 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 9 23 ) 3 2 2( ) 3( 2( 2 2 ) 5 5 8 ( , , ) 2 5 5 4 4 8 x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x = + − + − + = + − + + − = + + + − − 解一：（惯性指数法）
