第四章向量组的线性相关性 习题课 术洪亮
第四章 向 量 组 的 线 性 相 关 性 习 题 课 术 洪 亮
本章中我们主要介绍 了向量组和方程组的一些 有关内容，概括如下。 1.向量组的相关性： 2.向量组的极大无关组和秩： 3.向量空间： 4.线性方程组解的结构
本章中我们主要介绍 了向量组和方程组的一些 有关内容，概括如下。 1. 向量组的相关性; 2.向量组的极大无关组和秩; 3. 向量空间; 4. 线性方程组解的结构
下面通过举例题来说明 例1.设41=(2,5,1,3)； 42=(10,1,5,10)； 3=(4,1,-1,1) 满足3(a-a)+2(a2+)=5(a+),求& 解：由，3(&-a)+2(a+a)=5(a+a),可得 a=(3a+2c2-5c3)而3a=(6,15,3,9)； 6 2C42=(20,2,10,20),5C=(20,5,-5,5) .0三 6 (6,12,18,24),7.a=(1,2,3,4)
下面通过举例题来说明 例1. 1 2 3 2 3 (2,5,1,3) ; (10,1,5,10) ; (4,1, 1,1) . ) 2( ) 5( ), . T T T = = = − 1 − + + = + 设 满足 求 3( 解:由 2 3 − + + = + ) 2( ) 5( ), 1 3( 可得 1 2 3 1 (3 2 5 ) 6 = + − 而 3 (6,15,3,9) ; 1 T = 2 (20,2,10,20) ; T 2 = 3 (20,5, 5,5) . T 5 = − 1 (6,12,18,24), (1,2,3,4) . 6 T T = =
例2.设三阶矩阵 4= 2Y2 B= Y2 3y3 3 其中，B,Y2,Y3均为三维行向量且 A=18,B=2,求N-Bl 解 a- B B 1 4-B= Y2 -2 3 2Y2 2y3 23 2Y3 3y3
例2. 设三阶矩阵 2 2 3 3 2 , , 3 A B = = 2 3 其中 , , , 均为三维行向量.且 A B = = 18, 2, A B− 求 解: 2 2 2 3 3 3 2 2 2 A B − − − = = + 2 2 3 3 1 2 2 3 3 = −
3x18-2x2=2 例3.设阝，C1,O2线性相关 B,C2,Q3线性无关，则正确的结论是 AC41,a2,C3线性相关B.4,a2,&3线性无关 C.可由B,C2,&3线性表示 D.B可由a,&,线性表示 答：正确的结论为C
例3. 设 , ,1 2 线性相关 2 3 , , 线性无关, 则正确的结论是 B. , , 1 2 3 线性无关 C. , , 1 2 3 可由 线性表示 答: 正确的结论为C. 1 2 3 A. , , 线性相关 1 2 D. , 可由 线性表示 1 2 3 = − A B 1 18 2 2 2 3 = − =
例4.讨论向量组a=(1,1,1)月 2=(0,2,5)53=(1,3,6) 的线性相关性」 解：设有x、x2x3使 xC+x2C2+x3C3=0即 (X1+x3,x1+2x2+3x3,x1+5x2+6x3)=(0,0,0) 亦即 5=0 x+2x2+3x3=0 x+5x2+663=0
例4.讨论向量组 1 = (1,1,1); 2 3 = = (0,2,5); (1,3,6) 的线性相关性. 解:设有 x x x 1 2 3 、 、 使 x x x 1 1 2 2 3 3 + + = 0 1 3 1 2 3 1 2 3 ( , 2 3 , 5 6 ) (0,0,0) x x x x x x x x + + + + + = 即 亦即 1 3 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 5 6 0 x x x x x x x x + = + + = + + =
由第一个方程得X1=一x3 代入后两个方程，得 2x2+2x3=0 5x2+5x3=0 取x3=-1,则有X1=x2=1 于是有一组不全为0的数1,1，-1使 01+C2-03=0 所以Q1,C2,O3线性相关
2 3 2 3 2 2 0 5 5 0 x x x x + = + = 于是有一组不全为0的数1,1,-1使 1 2 3 + − = 0 1 2 3 所以 , , 线性相关. 取 x3 = −1, 则有 x x 1 2 = =1 代入后两个方程,得 由第一个方程得 1 3 x x = −
例5：设C1,C2,03是向量组T 的极大无关组，且 B=C1+a2+03; f2=c+c2+2a3; B=%+22+3a∈T7 试证B,B,E也是T的极大无关组 证：首先证明向量组B,P2,B与C%,Q2,C3等价 不妨设它们都是行向量
例5:设 是向量组T 的极大无关组, 且 1 2 3 , , 1 1 2 3 = + + ; 2 1 2 3 = + + 2 ; 3 1 2 3 = + + 2 3 T 试证 1 2 3 , , 也是T的极大无关组 证:首先证明向量组 1 2 3 , , 与 1 2 3 , , 等价 不妨设它们都是行向量
记 a ⊙ 6 A C, 因为 a1+02+0g3=B a1+o2+2@3=β3 a%+2c2+3C3=f 即 4 c? 3
记 1 1 2 2 3 3 B A , = = 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 2 2 3 + + = + + = + + = 因为即 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 1 2 3 = 令 1 1 1 1 1 2 1 2 3 C =
显然C可逆，则上式为CA=B,从而 A=C-B所以C1,Q2,C3可由 B,B2,E线性表示 故阝，B2,B3与Cc1,C2,03等价 再证B,2,阝线性无关，因为A=CB, 所以R()=R(CB)=R(B),故B,E2,B 线性无关，从而B,阝，B也是向量组T的极 大无关组
显然C可逆,则上式为CA=B,从而 1 A C B− = 1 2 3 所以 , , 可由 1 2 3 , , 线性表示, 1 2 3 , , 1 2 3 故 与 , , 等价 再证 1 2 3 , , 线性无关,因为 , 1 A C B− = 所以 1 R A R C B R B ( ) ( ) ( ), − = = 故 1 2 3 , , 1 2 3 线性无关 , , ,从而 也是向量组T的极 大无关组