第二章矩阵及其运算习题课 术洪亮
第二章 矩阵及其运算习题课 术洪亮
矩阵是线性代数中非常重要理论 之一，它贯穿线性代数内容的始终， 在本章中首先介绍了矩阵的一些基础 知识，其主要内容可概括为： 概念：矩阵、转置矩阵、零矩阵、负矩阵、同型矩阵等； 运算：线性运算，矩阵乘法； 对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵 特殊矩阵 三角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵 矩阵 方阵 对称矩阵、反对称矩阵 矩阵的行列式，方阵乘积的行列式，奇异矩阵、非 奇异矩阵、逆矩阵、伴随矩阵 分块矩阵：分块对角矩阵，简单分块矩阵的求逆
矩阵是线性代数中非常重要理论 之一，它贯穿线性代数内容的始终， 在本章中首先介绍了矩阵的一些基础 知识，其主要内容可概括为： 矩 阵 概念：矩阵、转置矩阵、零矩阵、负矩阵、同型矩阵等； 运算：线性运算，矩阵乘法； 方阵 对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵 特殊矩阵 三角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵 对称矩阵、反对称矩阵 矩阵的行列式，方阵乘积的行列式，奇异矩阵、非 奇异矩阵、逆矩阵、伴随矩阵 分块矩阵：分块对角矩阵，简单分块矩阵的求逆
关于矩阵的乘法AB,注意 当A的列数与B的行数相同时 才可以相乘，而且矩阵乘法 不满足交换律，消去律，即 AB=AC时，不一定有B=C, AB=0时，不一定有A=0,或B=O0, 但是当A为方阵且可逆时，若AB=AC,AB=O 则有B=C,B=0, (AB)=BA,(A+B)=4+B 逆矩阵，注意 (AB)=B'4,(A+B)≠+B
关于矩阵的乘法AB，注意 当A的列数与B的行数相同时 才可以相乘，而且矩阵乘法 不满足交换律，消去律，即 AB=AC时，不一定有B=C， AB=0时，不一定有A=0，或B=0， 但是当A为方阵且可逆时，若AB=AC，AB=0， 则有B=C，B=0， ( ) ,( ) T T T T T T AB B A A B A B = + = + 逆矩阵，注意 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 AB B A A B A B , − − − − − − = + +
。例1：若n阶矩阵A的行列式为 A=2求： 3A1-AA44)1-3A 解：因为数3乘以A相当于用3去乘 A的所有元素，3A的行列式3A是每 行含有公因子3，共提出n个3，所以： 3A=3”A=3”×2同理一A=(一1)2×2 A=2,A可逆， 喝4守安'同
⚫ 例1：若n阶矩阵A的行列式为 A = 2 求： 1 1 * 3 , , , (4 ) 3 A A A A A − − − − 解：因为数3乘以A相当于用3去乘 A的所有元素，3A的行列式 是每 行含有公因子3，共提出n个3，所以： 3A 3 3 3 2 n n A A = = 同理 ( 1) 2 A n − = − A A = 2， 可 逆， 1 1 * * 1 1 1 1 1 2 n n n A A A A A A A A − − = = = = =
-44r -r 例2：设A为n阶可逆矩阵，求(A) (A)=(04A) A A
( ) ( ) 1 * 1 1 1 1 1 4 3 3 4 1 23 23 6 4 4 2 4 n n n A A A A A A A − − − − − − = − − − = − = = 例 2：设A为 n阶可逆矩阵，求 ( ) 1 * A − 解： ( ) ( ) 1 * * 1 1 1 * 1 1 A A A A A A A A A A A − − − − − = = = =
求A,A, 解：
例3：设 100 0 1 0 , 0 0 2 = 解： 4 1 0 0 0 1 0 , 0 0 16 A = 1 0 0 0 1 0 , 0 0 2 k k A = 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 A − = 4 1 , , . k A A A− 求
例4：设A、B为n阶方阵，且 1A=2,|B=3求4-AB 解4=4=A=2, -AB=(-1)AB=(-1)4B =(-1)”2×3=(-1)”6 例5：设a=(1,2,3),阝=(1,2，)，A=aB,其中Cx 为O的转置，求A 解： 店 上323
例4：设A、B为n阶方阵，且 A B = = 2, 3 求 , T A AB − 解: ( ) ( ) ( ) ( ) 2, 1 1 1 2 3 1 6 T T n n n n AAA AB AB A B = = = − = − = − = − = − 为 的转置，求 n A 解： ( ) 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3 3 2 1 1 2 1 2 1 3 3 1 T A = = = 1 1 2 3 (1, 2,3), (1, , ), , T 例5：设 = = = A 其中 T
A 369 3-2 3 2 =3A 3 所以，A=2A=3AA=3A=3x3A=32A 故A”=3”-1A
1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 2 9 2 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 6 3 2 3 9 3 A A = = = 所以， 3 2 2 2 A A A AA A A A = = = = = 3 3 3 3 3 故 1 3 . n n A A− =
-2-1 例6：求矩阵 A=-3 5 2 0 的伴随矩阵A和逆矩阵A 解： A A21 A= A2 A如 A3 As 而 =的42月成28
例6：求矩阵 1 2 1 3 4 5 2 0 1 A − − = − 的伴随矩阵 和逆矩阵 1 A * − A 解： 11 12 13 4 5 3 5 3 4 4, 13, 8 0 1 2 1 2 0 A A A − − = = = − = = = − 而 11 21 31 * 12 22 32 13 23 33 A A A A A A A A A A =
入 4-2
21 22 23 2 1 2, 0 1 1 1 3, 0 1 1 2 4, 2 0 A A A − − = − = − = = − = − = − 31 2 1 6, 4 5 A − − = = − 32 1 1 2, 3 5 A − = − = − − 33 1 2 2, 3 4 A − = = − −
