五、方阵的行列式 1、定义 定义6由阶方阵A的元素所构成的行列式 (各元素的位置不变)，称为方阵4的行列式， 记作4或detA
五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA
2、运算律 1)A|=1A 2)24=入214 3)川AB=AB
2、运算律 1). ; T A = A 2). A A; n = 3). AB = A B
我们仅证明3)，设A=(a,B=(b). 记2n阶行列式 -1 b -
我们仅证明3），设A = (aij), B = (bij)。 记 2n 阶行列式 11 1 1 11 1 1 0 1 1 n n nn n n nn a a a a b b b b − − D = A O E B = −
显然，D=AB,而在D中以 b1y乘第1列，b2,乘第2列， bm乘第n列，都加到第n+j列上 （j=1,2,…,n),有 a an am aubu+apba+.+auba a2na,h1ta,b+…+abn a b+ab++ab tg8年t0。t年。t000tt a2 ab+an2h1++anbt… anb+anb ++0b D 1 0 0 0 -1 0 0
显然，D = |A||B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ，… ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （ j = 1 , 2 , … , n ) , 有 D= 11 12 1 11 11 12 21 1 1 11 1 12 2 1 21 22 2 21 11 22 21 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 11 2 21 1 1 1 2 2 1 0 0 0 1 0 n n n n n n nn n n n n n n nn n n nn n n nn n n n n n nn nn a a a a b a b a b a b a b a b a a a a b a b a b a b a b a b a a a a b a b a b a b a b a b + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − 0 0 0 1−
- 其中C=(ci),cg=a1b+a2bt+amb 故C=AB。 再对D的行作→TayJ=1,2,“,n),有 D-(-iy f d 从而有 D=(-1m-EC=(-1)(-1m川C|=|C|=IAB 于是 AB=AB
0 A C D E = − 其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj , 故 C = AB。 再对 D 的行作 rj ↔ rn+j （j = 1, 2, … , n ），有 0 ( 1) , n E D A C − = − 从而有 D = ( －1 )n |－E||C| = ( －1 )n ( －1 )n | C | = | C | = | AB |。 于是 | AB | = | A | | B |
例6：设A,B均为n阶方阵 且A4=E,BB=E, =-1, B 则A+B=O. 证A+B-ABTB+AMTB =A(BT+AT)B =(4+B)TB =-B4+B =-4+B 故A+B
例6：设A , B 均为 n 阶方阵 且 , , 1, T T = = = − B A AA E B B E 则A+ B = 0. 证 A B AB B AA B T T + ＝ + A(B A )B T T = + A A B B T = ( + ) = − B A+ B 2 = − A+ B 故 A+ B = 0
例7设A是n阶反对称矩阵， B是n阶对称矩阵，则AB+BA是 n阶反对称矩阵。 (AB+BA)T=(AB)T+(BA)T =BTAT+ATBT =-BA-AB =一(AB+BA) 所以，AB+BA为n阶反对称矩阵
例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵， B 是 n 阶对称矩阵，则 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵。 证 ( AB + BA ) T = (AB) T + (BA) T = BTAT + ATBT = －BA－AB = －（ AB + BA ） 所以， AB + BA 为 n 阶反对称矩阵
例8设 月 令A=,求A”及Am。 解 g: 1
例 8 设 1 2 1 3 1 1 2 , 3 = = 令 A = αβT , 求 An及| An |。 解 1 1 2 3 2 3 3 2 1 1 1 1 2 1, , 2 1 2 3 3 3 1 = =
An=(apTn=aBTaBTaBT…af =3-1A |A|=|3-A|=(3-1y川A =(3-1)y 21 3 =0
An = ( αβT ) n = αβTαβTαβT … αβT = 3n-1A | An | = | 3n-1A | = (3n-1 ) n | A | 1 1 2 3 1 2 3 3 2 1 (3 ) 2 1 3 1 n n − = = 0
六、共轭矩阵 1、定义 定义7设A=(a为复矩阵，a) 表示C,的共轭复数，记 A=(a) 则称为A的共轭矩阵
六、共轭矩阵 1、定义 定义7 设A= 为复矩阵， 表示 的共轭复数，记 ( ) aij aij ( ). A = aij aij 则 A 称为A的共轭矩阵