吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵及其运算 16-2-3 §3 逆矩阵

4)若A可逆，则也可逆， 且(AT一1=(A)T 证明： (A(A-)=(A-A) ET-E, 所以(A)1=(A)

4) 若A可逆，则 A T 也可逆， . 且（ T ）－1 （ −1 ）T A = A T 1 T 1 T A (A ) (A A) − − （ ） = , T = E = E T 1 1 T ( ) − − （A ） = A 证明： 所以

注1：当4≠0时，k为正 整数，入，u为整数，有 1)40=E 2)Ak=(A-1)4 3)A=+州 4)(A)“=A4 2:当4≠O时A为可逆矩阵，也称为非奇异 矩阵， 当=0时，A为不可逆矩阵，也称为奇异矩 阵

注1：当 |A| ≠ 0 时，k为正 整数，λ，μ为整数，有 1) A 0 = E k k 2) A (A ) − −1 =   + 3) A A = A 2:当A  0时， A为可逆矩阵，也称为非奇异 矩阵， A为不可逆矩阵，也称为奇异矩 阵. 4 ) ( Aλ ) μ = Aλμ 当 A = 0时

四.逆矩阵的应用 例1.解矩阵方程 日图 解：设 -88 则上式变成： AXB=C

四. 逆矩阵的应用 例1. 解矩阵方程           =                  1 0 0 1 1 0 5 3 2 1 X 0 0 1 0 1 2 1 2 3 , 0 0 1 0 1 2 1 2 3           A = , 5 3 2 1 B         =           = 1 0 0 1 1 0 C 解：设 则上式变成: AXB = C

因为A=1≠0，B=1≠0 所以A1,B均存在，且 于是X=ACB

所以A −1 ,B −1 均存在，且, 0 0 1 0 1 2 1 2 1 1           − − = − A         − − = − 5 2 3 1 1 B 1 1 X − − 于是 = A CB           − − = 0 0 1 0 1 2 1 2 1         − − 5 2 3 1           1 0 0 1 1 0 因为A =1 0, B =1 0

例2.设 0 -2 0 且B=(E+A(E-A) 求(E+B)-1

        − −           − − = 5 2 3 1 1 0 2 1 2 2           − − − = 3 1 11 4 16 6 例2. 设 , 0 0 6 7 0 4 5 0 2 3 0 0 1 0 0 0               − − − A = ( ) ( ) 1 B = E + A E − A 且 − 求（ E + B ）－1

解：由 B=(E+A)'(E-4),得 (E+A)B=E—A 从而，B十AB=E一A 即 (E+A)(E+B)=2E 故(E+B)1=与(A+E)

解: 由 B = (E + A) −1 (E − A),得 (E + A)B = E − A ( ) 2 1 ) 1 E + B = A+ E 故（ −               − − − = 0 0 3 4 0 2 3 0 1 2 0 0 1 0 0 0 从而，B + AB = E − A 即 ( E + A )( E + B ) = 2E

例3.设A,B均为n阶方矩 阵，若E一AB可逆，则E一BA 也可逆，并求：(E-BA 证明：A一ABA=A一ABA (E一AB)A=A(E一BA) 所以 A=(E-AB)A(E-BA)

例3. 设 A，B 均为 n 阶方矩 阵， 若 E－AB 可逆，则 E－BA 也可 逆，并求: 1 ( ) − E − BA 证明：A－ABA = A－ABA ( E－AB ) A= A( E－BA ) 所以 1 A E AB A E BA − = − − ( ) ( )

又因为 E=E一BA+BA =(E-BA)+B(E-ABA(E-BA) =「E一B(E一ABA(E-BA) 所以E一BA可逆，且 (E-BA)=E-B(E-ABA

又因为 E = E－ BA + BA ( ) ( ) ( ) 1 = E − BA + B E − AB A E − BA − 所以 E－BA 可逆,且 (E BA) E B(E AB) A −1 −1 − = − − = [E －B ( E －AB ) -1A] ( E － BA )

五、几个常用的公式 1) AA*=AA=AE 2) A*=AA1 3) 14-1=11 4) 124=A 5) (2A)1=1A1 例4若4≠0，试证(1)41=4-1，（2)(4)1=(4) (3)(A)T=(AT);(4)(A*)*=A-2A;(5)(k4)=-1A。 证(1)A1=AM=Am4=A-: (2)(A*1=(AA1>1=A(A)1=(A); (3)(A)T=(AA)T=AT(41)T=A(A)1=(A)

五、几个常用的公式 1) AA* = A*A = |A|E 2) A* = |A|A-1 3) |A-1 | = |A| -1 4) |λA| = λ n |A| 5) (λA) -1 = λ -1A-1 例4 若 |A| ≠ 0, 试证（1） |A* | =|A| n-1 ;（2）(A* ) -1= (A-1 ) * (3) (A* ) T = (AT ) * ;（4）(A*)* = |A| n-2A;（5）(kA) * = k n-1A* 。 证 （1） |A* | = (2) (A* ) -1= (3) (A* ) T = ||A|A-1 | = |A| n |A-1 | = |A| n-1 ; (|A|A-1 ) -1 = |A-1 |(A-1 ) -1 = (A-1 ) * ; ( |A|A-1 ) T = |AT|(A-1 ) T = |AT|(AT) -1 = (AT ) *

(4)(A*)*=4*1(A*) A-(A4-1 A -2A (5)(飞A)=IkA(kA knAkA- =-1AA1 =-1A

(4) (A* ) * = |A* |(A* ) -1 = |A| n-1 (|A|A-1 ) -1 = |A| n-2A (5) (kA) * = |kA|(kA) -1 = k n |A|k -1A-1 = k n-1 |A|A-1 = k n-1A*