例5：非齐次线性方程组 一2x1+x2+X3=一2 x1一2x2+x3=人 X+X2-2x3=22 当2取何值时有解？并求出它的解 解：对增广矩阵B=(Ab)施行初等行变换 -211-2 -2 1 r <7 B=(Ab)=1-212 -2 -2 11-222 11 -2 22
例5：非齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 2 2 2 x x x x x x x x x − + + = − − + = + − = 当 取何值时有解？并求出它的解 . 解:对增广矩阵B=(A b)施行初等行变换 2 2 1 1 2 ( ) 1 2 1 1 1 2 B A b − − = = − − 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 ~ r r − − − −
+2r -21 5+(-1)n 0-3322-2 03-32-元 -21 乃+2 0-332九-2 00022+2-2 所以当2+入-2=0，即九=1,2=-2方程组有解 1-211 当=时，B~0-330 0 000
2 1 3 1 2 ( 1) 2 1 2 1 0 3 3 2 2 0 3 3 ~ r r r r + + − − − − − − 3 2 2 1 2 1 0 3 3 2 2 0 0 0 2 ~ r r + − − − + − 所以当 2 + − 2 =0，即 = = − 1, 2 方程组有解 1 = 1 -2 1 1 当 时,B 0 -3 3 0 0 0 0 0 1 2 3 ~ r −
0 1+22 方程组的解为 x,=C+1 X X2 =C 或表示为 X2 =c ,(c∈R) X3 =C
1 2 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 − − 1 2 2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 ~ r r + − − 方程组的解为 1 2 3 1 1 1 1 0 ,( ); 1 0 x c x c c c R x c = + = = + = 1 2 3 x 或表示为 x x
1 -21-2 当1=-2时，B~0-3 3-6 00 0 -2 10-1-3 2×-3 1+22 -2 01-1-2 0000 所以方程组的解为 x1=C-3 3 x2=C-2或表示为 X2 =C 1 ,(c∈R) X3=C X3 0
2 − = 1 -2 1 -2 当 时,B 0 -3 3 -6 0 0 0 0 1 2 3 1 2 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 ~ r − − − − 1 2 2 1 0 1 3 0 1 1 2 0 0 0 0 ~ r r + − − − − 1 2 3 3 1 3 2 1 2 ,( ); 1 0 x c x c c c R x c = − = − = − = 1 2 3 x 或表示为 x x 所以方程组的解为
例6：设 (2-2)x+2x2-2x=1 2x+(6-20x2-4x=2 -2x-4x2+(6-2)x3=-2-1 问取何值时，此方程组有唯一解、无解或 有无穷多解？并在有无穷多解时求解 解：因为系数行列式 12-22 -2 2+(-1)m 2-见 2 -2 5+ 4= 2 5入 23--2 -2 -4 5-入 -2-2 3-
例6：设 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (2 ) 2 2 1 2 (5 ) 4 2 2 4 (5 ) 1 x x x x x x x x x − + − = + − − = − − + − = − − 解：因为系数行列式 2 2 2 2 5 4 2 4 5 A − − = − − − − − 2 1 3 1 ( 1) 2 2 2 3 2 2 3 r r r r + − + − − − − − − − = 问 取何值时，此方程组有唯一解、无解或 有无穷多解？并在有无穷多解时求解
5+为 21-2)-1-2) i+(-1)2 3-元 -2 0 1-2 1- 2 =1-2 3-元-2=(1-010-23 0 由Cramer法则可知，系数行列式不为零时，方程组有 唯一解所以，当2≠1,2≠10时方程组有唯一解 当2=10时，增广矩阵B为 +4 -18 -189 -82 -2 n+h B=(A b)= 2-5 2 -2
2 2 2 1 0 (1 ) 3 2 (1 ) (10 ) 0 1 1 − = − − − = − − 3 2 1 2 ( 1) 2(1 ) (1 ) 0 3 2 0 1 1 r r r r + + − − − − − − − − = 由Cramer法则可知，系数行列式不为零时，方程组有 唯一解.所以,当 1, 10 时方程组有唯一解. 当 时,增广矩阵B为 =10 8 2 2 1 2 5 4 2 2 4 5 11 − − − − − − − − B=(A b)= 1 2 3 2 4 0 18 18 9 2 5 4 2 0 9 9 9 ~ r r r r + + − − − − − − −
-9 ±(-2)3 2 -5 -4 2 -9 可知系数矩阵A与增广矩阵B的 秩不等，所以方程组无解， 当=时，增广矩阵B为 12-21 2+(2)万 12 B=(Ab)=2 4 -42 2442 由此可知系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等1，所以方 程组解且有无穷多」
1 3 ( 2) 0 0 0 9 2 5 4 2 0 9 9 9 ~ r r + − − − − −−− 可知系数矩阵A与增广矩阵B的 秩不等,所以方程组无解; 当 时,增广矩阵B为 =1 1 2 2 1 2 4 4 2 2 4 4 2 − − − − − B=(A b)= 2 1 3 1 ( 2) 2 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ r r r r + − + − 由此可知系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等1,所以方 程组解且有无穷多
同解方程组为 x7+2x2-2x3=1 x=-2G+2c2+1 其解为x2=C X3=C2 2 或表示为 X2 三C 1 (G,C2∈R)
同解方程组为 x x x 1 2 3 + − = 2 2 1 1 1 2 2 1 3 2 2 2 1 ; x c c x c x c = − + + = = 其解为 1 2 1 2 2 2 1 1 0 0 ,( , ). 0 1 0 c c c c R − = + + 1 2 3 x 或表示为 x x
例7： 4 -2 (1)设A= 2 2 ,B= 2 3 1 求X使AX=B; 0 21 (2)设A= 2-1 求X使XA=B -33-4 解：若A可逆，则由(1)可得X=AB由(2)可得X=BA 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可求A'B,BA 由A'(A:B)=(E:AB) 可知
1 1 2 3 (2) 2 1 3 , , 2 3 1 3 3 4 A B − = − − − 0 2 设 = 求X使XA=B. 解: 若A可逆,则由(1)可得 X A B = −1 由(2)可得 1 X BA− = 利用初等行变换求逆矩阵的方法,还可求 1 1 A B,BA − − 例7: 求 X 使 AX=B； 4 1 2 1 3 (1) 2 2 1 , 2 2 , 3 1 1 3 1 A B − − = = − − 设 可知, 1 1 1 ( ( ) A B E A B ) , A E A B BA− − − = = -1 由A
若对矩阵(A:B)施行初等行变换 对矩阵 ( 施行初等列变换，当 把A变为E时，B就变为AB,BA 41-21-3 而(A:B)= 22122 31-13-1 1 0-1-2-2 10-1-2-2 1+(-1)3 5+(-2)1 22122 02366 31-13-1 01295
若对矩阵 施行初等行变换, 对矩阵 施行初等列变换,当 把 A 变为 E 时, B 就变为 1 1 A B,BA − − ( ) A B A B 1 3 ( 1) 1 0 1 2 2 2 2 1 2 2 3 1 1 3 1 ~ r r + − − − − − − 2 1 3 1 ( 2) ( 3) 1 0 1 2 2 0 2 3 6 6 0 1 2 9 5 ~ r r r r + − + − − − − 4 1 2 1 3 ( ) 2 2 1 2 2 3 1 1 3 1 A B − − = − − 而