§2方阵的特征值 与特征向量 特征值与特征向量的概念 定义6设A为m阶方阵，如果数)和n维非零列向量x, 使关系式 Ax=Ax 成立，那么，称数)为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对 应于特征值的特征向量。 (1) 也可以写成(4A一E)x=0
§2 方阵的特征值 与特征向量 一.特征值与特征向量的概念 定义6 设A为n 阶方阵,如果数 λ 和 n 维非零列向量x, 使关系式 Ax = λx 成立,那么,称数λ为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对 应于特征值λ的特征向量。 （1）也可以写成 (A－λE ) x = 0 （2） (1)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非 零解的充分必要条件是系数行列式 |A-λE|=0 由此，我们可由(3)求A的特征值，由(2)求A的特征向量 1、特征多项式 -d2 -a22 f()尸|E-A| 入- nn =2”-(a1+a2++am)2-1--(-1）°4
这是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组 ,它有非 零解的充分必要条件是系数行列式 ︱A－λE︱= 0 (3) 由此,我们可由(3)求A的特征值 ,由 (2)求A的特征向量. 1、特征多项式 f (λ)=︱λE－A︱ n n n n n n a a a a a a a a a − − − − − − − − − = 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) 1 11 22 1 n A − = − − − − n n a +a + +ann
2.特征方程 |A-E|=0 即入”-(a,+a22+…+am2n1t…+(-1yA=0 3.A的迹411+C22+ 二、特征值与特征向量的性质 设入，入2…，入n是4的n个特征值，由高次方程 的韦达定理不难证明： 性质1.入，+入2+…+入n=411+42+…+4m 性质2.入入2…入n=4
2. 特征方程 ︱A－λE︱= 0 ( ) ( 1) 0 1 − 1 1 + 2 2 + + + + − = − a a a A n n n n 即 n 3. A的迹 a11 + a22 ++ ann a11 + a22 ++ ann 二、特征值与特征向量的性质 设1 ,2 , ,n 是A的n个特征值 ， 由高次方程 的韦达定理不难证明: 性质1. 1 + 2 ++ n = a11 + a22 ++ ann 性质2. 1 2 n = A
例1证明方阵A可逆的充分必要条件是零不是A的特 征值。 证 设)，入2…，入n,是A的n个特征值 必要性：因为A可逆，所以|A|0,由性质2 入2入m≠0 故2，入，…，2不为零，从而零不是A的特征值 充分性：由于入，入2，…，入均不为零，从而 入入2…入n≠0由性质24=入入2入n≠0 故A可逆 同理可证：A不可逆的充要条件是A有零特征值
例1 证明方阵A可逆的充分必要条件是零不是A的特 征值。 证 设1 ,2 , ,n ,是A的n个特征值 必要性:因为A可逆,所以︱A︱≠0,由性质2 1 2 n 0 从而零不是A的特征值. 充分性: 由于1 ,2 , ,n 均不为零 , 从而 1 2 n 0 由性质2 A = 1 2 n 0 故A可逆. 同理可证: A不可逆的充要条件是A有零特征值。 1 2 , , , , 故 n 不为零
三、特征值与特征向量的求法 1、由|A一E|=0,求A的n个特征值 2、由Ax=x,求抽象矩阵的特征值 3、由(A一2Ex=0,求A的特征向量 -110 例2求矩阵A=-4 3 的特征值和特征向量。 10 解：①由|A一E|=0,求A的全部特征值， -1-λ1 0 A-XE= -4 3-λ0 =(2-入1-入)2=0 0 2-λ
三、特征值与特征向量的求法 1、由︱A－λE︱=0,求A的n个特征值. 2、由 Ax = λx ,求抽象矩阵的特征值. 3、由(A－λE)x = 0 ,求A 的特征向量. 例2 求矩阵 − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 A 的特征值和特征向量。 解: ①由︱A－λE︱= 0，求A的全部特征值， − − − − − − = 1 0 2 4 3 0 1 1 0 A E (2 )(1 ) 0 2 = − − =
得A特征值为入，=2，入2=入3=1 ②由(A一λE)x=0,求A的特征向量 当入，=2时，解方程(A一2E)x=0由 -3 1 A-2E= -4 10 0 得基础解系p三 00 所以k(k≠O)是对应于入，=2的全部特征向量
得A特征值为 1 = 2,2 = 3 =1 ②由(A－λE)x = 0,求A的特征向量 当 2时, 1 = 解方程（A－2E）x = 0由 − − − = 1 0 0 4 1 0 3 1 0 A 2E ～ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 得基础解系 = 1 0 0 1 p 所以k p (k 0)是对应于 2的全部特征向量. 1 1 =
当入2=入3=时，解方程(A一E)x=0由 -2 A-E= 得基础解系P2= 2 所以p,(k≠O)是对应于)2=入3=的全部特征向量 -211 例3求矩阵A= 0 2 0 的特征值和特征向量 -41
当2 = 3 =1时 ，解方程（A－E）x = 0由 − − − = 1 0 1 4 2 0 2 1 0 A E ～ 0 0 0 0 1 2 1 0 1 得基础解系 − − = 1 2 1 2 p 例3 求矩阵 − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A 的特征值和特征向量 所以k p2 (k 0)是对应于2 = 3 =1的全部特征向量
