吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 27-3-4 §4 初等矩阵

§4 初等矩阵 。一、初等矩阵的概念 定义4 由单位矩阵E经过一次初等变换得到 的矩阵称为初等矩阵

§4 初等矩阵 ⚫ 一、初等矩阵的概念 定义４ 由单位矩阵Ｅ经过一次初等变换得到 的矩阵称为初等矩阵

1.对调两行（列）· 第行 Ei,]= 第j行

                                    = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 [ , ]        E i j １．对调两行（列）． 第i行 第ｊ行

2.以数k夫0乘以某行（列） E[ik】= 第行

２．以数ｋ≠０乘以某行（列）                       = 1 1 1 1 [ ( )]   E i k k 第i行

3.以数乘以某行（列）加到另 一行（列）上去. 第行 E[i,j(k)]= 第行

３．以数k乘以某行（列）加到另 一行（列）上去．                       = 1 1 1 1 [ , ( )]      k E i j k 第i行 第ｊ行

注意：初等方阵是可逆矩阵，且其 逆矩阵仍然是初等方阵。 E[i,]=E[i,刃 E'=E(】 k≠0 Ei,k]=i,(-k】

注意：初等方阵是可逆矩阵，且其 逆矩阵仍然是初等方阵。 [ , ] [ , ] 1 E i j = E i j − [ , ( )] [ , ( )] 1 E i j k = E i j −k − 1 1 E i k E i k [ ( )] [ ( )] 0 k − = 

例1.设 @3 4 A= d21 22 a31 a32 a33 34 计算： E[1,3]4,AE1,3];E2(k)]A,AE2(A)l E[1,3(k)]4,AE1,3(k)]

例１．设           = 3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a a a a a a a a a a a a A 计算： E[1,3]A; AE[1,3]; E[2(k)]A; AE[2(k)]; E[1,3(k)]A; AE[1,3(k)]

解： 00 a 2 1-9。 d 0 d31 d32 034 d32 a33 d34 dzi a22 a23 a24 a a 2 13 a14 0 01 0 1 0 0 AE1,3]= d22 d23 a24 00 0 d32 d33 34 0 00 1 a3 a14 az3 d22 d24 d33 d32 d31 d34

解： E[1,3]A           = 1 0 0 0 1 0 0 0 1           31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a           = 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a a a a a a a a a AE[1,3] =           31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a               0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0           = 33 32 31 34 23 22 21 24 13 12 11 14 a a a a a a a a a a a a

dji 02 A 3 E[2(k)]A= kaz kaz ka3 k24 a31 d32 d33 d34 ka2 a s AE[2(k)]= a21 ka2 23 d24 a31 ka32 d33 034

E[2(k)]A = AE[2(k)] =           3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a k a a a a k a a a a k a a a           3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a a a a k a k a k a k a a a a a

au+kas an+kas2 a13+kass ans +kass E1,3(k)]A 02 03 432 d33 d34 k41+a13 C14 AE1,3(k)]= a22 k421+a23 024 a a32 k431+433 C34

E[1,3(k)]A AE[1,3(k)]           + + + + = 3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 3 1 1 2 3 2 1 3 3 3 1 4 3 4 a a a a a a a a a k a a k a a k a a k a           + + + = 3 1 3 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 2 2 1 2 3 2 4 1 1 1 2 1 1 1 3 1 4 a a k a a a a a k a a a a a k a a a

二、初等方阵的有关定理 定理4.设A是一个m×n矩阵，对A实施一次初 等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩 阵 对A实施一次初等列变换，相当于在A的右边乘 以相应的n阶初等矩阵

二、初等方阵的有关定理 定理４．设Ａ是一个m×n 矩阵，对 A 实施一次 初 等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩 阵; 对 A 实施一次 初等列变换，相当于在 A 的右边乘 以相应的 n 阶初等矩阵