第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 §1矩阵的初等变换 一引例 求解线性方程组 2x1-x2-x3+x4=2 ① x,+x2-2x3+x4=4 ② 4x1-6x2+2x3-2x4=4 ③ (1 3x1+6x2-9x3+7x4=9 ④
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 §1 矩阵的初等变换 一.引例 求解线性方程组 + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 2 4 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x (1) ① ② ③ ④
x1+x2-2x3+x4=4 ① ①一② 2x1-x2-x3+x4=2 ② 1) 3)÷2 2x1-3x2+x3X4=2 ③ 3x1+6x2-9x3+7 9④ X + 2x十x4= 3 ② 2X① + ③ 2x3 2x+2x4= 0 2 -3① + ④ 5x+5x -3x=-6 ③ 3x-3x +4x=-3④
(1) ÷ 1 2 3 + − + = − + − = − − + = + − + = 3 6 9 7 9 2 3 2 2 2 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x (2) (2) (3) 3 2 1 3 1 4 － + －2 + －3 + ①②③④①②③④ 2 1 2 3 4 234 2 3 4 2 3 4 2 4 2 2 2 0 5 5 3 6 3 3 4 3 x x x x x x x x x x x x x + − + = − + = − + − = − − + = −
x+x2-2x3+x4=4 ① (3 ②×1/2 X2-x3+X4=0 ② ③+5② ③ ④ -3② 2x4三-6 X4=一3 x1+x2-2x3+x4=4 ① X2-x3+X4=0 ② X4=-3 ③ 0=0 ④
(3) 2 × 1/2 3 + 5 2 4 － 3 2 (4) (4) 3 4 － 2 3 + 4 （ 5 ） ①②③④①②③④ 1 2 3 4 2 3 444 2 40 2 63 + − + = − + = = − = − x x x x x x xxx 1 2 3 4 2 3 4 4 2 403 0 0 + − + = − + = = − = x x x x x x xx
+4 于是得 X2 三 X; 3 XA 其中x3可任意取值，或令x=c这里c为任意常数.则方 程组可记为： 即x=C XA
于是得 其中 x3可任意取值，或令x3 = c 这里c为任意常数.则方 程组可记为： x = − + + = 3 3 4 4 3 2 1 c c c x x x x − + 3 0 3 4 0 1 1 1 即 x = c 1 3 2 3 4 4 3 3 x x x x x = + = + = −
把上面方法加以数学抽象 B=(Ab) 4 3 称为方程组(1)的增广矩阵 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵 上，就得到矩阵的三种初等变换
把上面方法加以数学抽象 B =（A b) = 称为方程组（1）的增广矩阵. 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵 上，就得到矩阵的三种初等变换. 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 − − − − − −
二矩阵的初等变换 定义1下面三种变换称为矩阵的初等变换： (1 对调矩阵的两行（列） (2) 以数0乘矩阵某一行（列中的所有元素 (3)把矩阵的某一行（列）所有元素的k倍加到 另一行（列）对应的元素上去， ※矩阵初等行变换与初等列变换，统称为初等变 换
二.矩阵的初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换: (1) 对调矩阵的两行(列); (2) 以数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素; (3) 把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到 另一行(列）对应的元素上去; ※ 矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变 换
显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆 变换是同一类型的初等变换： (1)对换变换←>”的逆变换就是其本身： (2)倍乘变换了×k的逆变换为× (3)倍加变换 +k7的逆变换为(k); ※如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩 阵A与B等价，记作A∽B. ※矩阵之间的等价关系具有下列性质： (1)反身性A∽A (2)对称性若A∽B, 则B∽A: (3)传递性若A∽B,B∽C,则A∽C ※两个线性方程组同解，就称这两个线性方 程组等价
显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆 变换是同一类型的初等变换: (1) 对换变换 的逆变换就是其本身; (2) 倍乘变换 的逆变换为 ; (3) 倍加变换 的逆变换为 ; ※ 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩 阵A与B等价,记作A∽B. ※ 矩阵之间的等价关系具有下列性质： （1）反身性 A∽A （2）对称性 若A∽B，则B∽A； （3）传递性 若A∽B，B∽C，则A∽C. ※ 两个线性方程组同解，就称这两个线性方 程组等价。 i j r r r k i i j r + kr 1 i r k r k r i j + −( )
三矩阵初等变换的应用 例1.解线性方程组 2x1-x2-x3+x4=2 x1+x2-2x3+x4=4 4x1-6x2+2x3-2x4=4 3x1+6x2-9x3+7x4=9 解对方程组的增广矩阵B施以行初等变换
三.矩阵初等变换的应用 例1. 解线性方程组 + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 2 4 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 解 对方程组的增广矩阵B施以行初等变换
1 2 4 4 B= 0
− − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 B − − − − − − 3 6 9 7 9 2 3 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 ～ − − − − − − − 0 3 3 4 3 0 5 5 3 6 0 2 2 2 0 1 1 2 1 4 ～ − − − − 0 0 0 1 3 0 0 0 2 6 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 ～ ～ ～