四、矩阵的转置 1、定义 定义5把矩阵A的行换成同序数的列得到的矩阵 叫做A的转置矩阵，记作AT。 例如 4 2 5
四、矩阵的转置 1、定义 定义5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的矩阵, 叫做 A 的转置矩阵,记作 AT 。 , 4 5 6 1 2 3 A = . 3 6 2 5 1 4 = T A 例如
2.运算律 (A)了=A: 2)(A+B)=A'+B": 3) (久4)=入A A)(AB)=BTAT
2.运算律 2) ( ) ; T T T A+ B = A + B 3) ( ) ; T T A = A 4) ( ) . T T T AB = B A 1) (A ) A; T T =
这里仅证明4) 设A=(a,)mx,B=(bsxn AB=C=(Cuj)mxn, BTAT=D=(di)nxm° 显然，要证明(AB)T=BTAT,只须证明c,=d 即可
这里仅证明4） 设 A = ( aij )m×s , B = ( bij )s×n。 AB = C = ( cij )m×n ， BTAT = D = ( dij )n×m。 显然，要证明（ AB ) T = BTAT , 只须证明 cji = dij 即可
因为 ci=ab+a2b,+…+a.b =b41+b,42++b4为 -di (i=1,2,,n;7=1,2,…,n) 即D=CT,也就是BA=(AB)Y
因为 j i j i j i j s s i c = a b + a b ++ a b 1 1 2 2 i j i j s i j s = b a +b a ++ b a 1 1 2 2 = dij(i =1,2, ,n; j =1,2, ,m). , ( ) . T T T T 即D = C 也就是B A = AB
例3.已知 -9 求(AB)T
例3.已知 2 0 1 , 1 3 2 A − = 1 7 1 4 2 3 2 0 1, B − = 求 ( AB ) T
解法1：因为 -3 1713 10 1 所以 13 10
解法1：因为 AB = − = 17 13 10 0 14 3 ( ) 3 10 14 13 0 17 － 所以 AB T ＝ − − 2 0 1 4 2 3 1 7 1 1 3 2 2 0 1
解法2： (AB)=BTAT 14 13 -3
. 3 10 14 13 0 17 − = 解法2： ( AB B A ) = T T T 1 4 2 2 1 7 2 0 0 3 1 3 1 1 2 = − −
有了转置矩阵的定义 后，显然有 A为对称矩阵，则A=; A为反对称矩阵，则AT=一A
有了转置矩阵的定义 后，显然有 A为对称矩阵， A为反对称矩阵， ; T 则 A = A . T 则 A = −A
例4试证任意阶方阵都可分解为 ·个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 证由于 A=(A+A+AT-AT)） =A+AT+A一AT) A十A7 A一A 2 因为 =+(4YA+A 2 A-A 故A等于对称矩阵 A+A 与反对称矩阵 A-A 之和。 2
例4 试证任意n阶方阵都可分解为 一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 证 由于 A = ½(A + A + AT－AT ) = ½(A + AT + A－AT ) 2 2 T T A A A A + − = + ( ) 2 2 T T T T T A A A A + + = = T A+A 2 因为 ( ) 2 2 T T T T T A A A A = = T A A 2 － － － － 故A等于对称矩阵 与反对称矩阵 之和。 T A+A 2 T A A 2 －
例5：设列矩阵 X= 满足XTX=1,E为n阶的单位矩阵，H=E一2XT 证明H是对称矩阵，且HH=E
例5：设列矩阵 1 2 n x x x X = 满足XTX = 1，E为 n 阶的单位矩阵，H = E －2XXT , 证明 H 是对称矩阵，且 HHT = E
