吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 26-3-3 §3 线性方程组的解

其解亦可表为向量形式 2k1+ 2k2 2k 2 -2 1

其解亦可表为向量形式                 − − + =               2 1 1 2 1 2 4 3 2 1 3 4 2 3 5 2 k k k k k k x x x x               +               − = 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 1 2 k k

例2求解非齐次线性方组 x1-2x2+3x3-x4=1 3x1-x2+5x3-3x4=2 2x1+x2+2x3-2x4=3 解对增广矩阵B实施行的初等变换 023100-23 B= 3-15-32~05 0-1 212-2305 -40

例2 求解非齐次线性方组      + + − = − + − = − + − = 2 2 2 3 3 5 3 2 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B实施行的初等变换           − − − − − = 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 B 1 2 3 1 1 ~ 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1   − −   − −       −

71 -2 3 5 0 可见，R(A)=2,R(B)=3.故方程组无解

          − − − − 0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 ~ 可见，R(A) = 2 , R(B) =3.故方程组无解

例3 求解非其次线性方程组 x1+x2一3x3-x4三1 3x1-x2-3x3+4x4= 4 x1+5x2一9x3-8x4=0 解对增广矩阵B实施行的初等变换 B=3-1 15-9-8 004-6-7 -1

例3 求解非其次线性方程组      + − − = − − + = + − − = 5 9 8 0 3 3 4 4 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B实施行的初等变换           − − − − − − = 1 5 9 8 0 3 1 3 4 4 1 1 3 1 1 B           − − − − − − 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 1 1 3 1 1 ~

-4 7 0 显然，R(4)=R(B)=2<4,所以原方程组有无穷多解， 且具有下列同解方程组：

          − − − 0 0 0 0 0 0 4 6 7 1 1 1 3 1 1 ~           − − − 0 0 0 0 0 0 4 6 7 1 4 4 12 4 4 ~           − − 0 0 0 0 0 0 4 6 7 1 4 0 6 3 5 ~             − − − − 0 0 0 0 0 4 1 4 7 2 3 0 1 4 5 4 3 2 3 1 0 ~ 显然， R(A) = R(B) = 2＜4，所以原方程组有无穷多解， 且具有下列同解方程组：

3 3-232 即 23 2 3-2 3 1 故 X2 2 k1,为任意常数。 k K2

     − − = − − + = 4 1 4 7 2 3 4 5 4 3 2 3 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 即      = + − = − + 4 1 4 7 2 3 4 5 4 3 2 3 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 故 k1 , k2 为任意常数。 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 3 3 5 2 4 4 3 7 1 2 4 4 x k k x k k x k x k  = − +     = + −   =   =

写成向量形式 32 3 休 k1,k2为任意常数

1 2 1 2 1 2 3 1 4 2 3 3 5 2 4 4 3 7 1 2 4 4 k k x x k k x k x k   − +             = + −                               − +               − +               = 0 0 4 1 4 5 1 0 4 7 4 3 0 1 2 3 2 3 k1 k2 k1 ,k2 为任意常数。 写成向量形式

例4设有线性方程组 (1+九)x1+x2+x3=0 x1+(1+)x2+x3=3 x1+x2+(1+入)x3=见 问λ取何值时，此方程组(1)有唯一解？(2)无解？ (3)有无穷多个解？并在有无穷多解时，求其通解

例4 设有线性方程组 问 λ 取何值时，此方程组（1）有唯一解？（2）无解？ （3）有无穷多个解？并在有无穷多解时，求其通解。      + + + = + + + = + + + =     1 2 3 1 2 3 1 2 3 (1 ) (1 ) 3 (1 ) 0 x x x x x x x x x

解对增广矩阵B=(A|b)实施 行的初等变换： +入 1+入 3 1 1+九入 1+见 1+ 3 1+入

解 对增广矩阵B =（A | b）实施 行的初等变换:           + + + =     1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 0 B           + + + 1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 ~    

11+2元 3 1+ 0 1+元 -2 3-入 0 -(2+2)-21+2) 1+见 兄 -见 3-见 -(3+2) (3+2)1-2)

          + + + 1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 ~               − − + − + − − + 0 (2 ) (1 ) 0 3 1 1 1 ~                     − + + − − − + 0 0 (3 ) (3 )(1 ) 0 3 1 1 1 ~         