§2 向量组的线性相关性 一、向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成 的集合叫做向量组。 例如一个m×n矩阵A有n个m维列向量 0 (j=1,2,…,n） 它们组成的向量组a1,C2,…,an称为矩阵A的列向量组
§2 向量组的线性相关性 一、向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成 的集合叫做向量组。 例如一个m×n矩阵A有n个m维列向量 它们组成的向量组 α1 ,α2 ,…,αn称为矩阵A的列向量组。 1 2 ,( 1,2, , ) j j j mj a a j n a = =
mXn矩阵A又有m个n维行向量 g=(a1a2…,a,n),(1,2…m〉 它们组成的行向量组aI,a,amT称为矩阵A的行向 量组。 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 矩阵。例如： m个n维列向量所组成的向量组a1,a2,,anm构成个 nXm矩阵 A=(a1,a2…,0m）;
m×n矩阵A又有m个n维行向量 αi T=( ai1 ,ai2 ,…,ai n ), ( i=1,2,…m ) 它们组成的行向量组α1 T ,α2 T ,…,αm T 称为矩阵A的行向 量组。 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 矩阵。例如： m个n维列向量所组成的向量组α1 ,α2 ,…,αm构成一个 n×m矩阵 A=( α1 ,α2 ,…,αm ) ;
m个n维行向量所组成向量组，，.，mT构成 个m×n矩阵 我们前面学过的线性方程组又可以写成矩阵的形 式Ax=b而且矩阵又可以写成向量组的形式，所以方 程组也可以写成向量的形式 xa+x202++xnan=b
m个n维行向量所组成向量组β1 T , β2 T ,…, βm T构成一 个m×n矩阵 B = 。 1 2 T T T m 我们前面学过的线性方程组又可以写成矩阵的形 式Ax = b,而且矩阵又可以写成向量组的形式，所以方 程组也可以写成向量的形式 x1α1 + x2α2 + … + xnαn= b
由此可见，线性方程组与其增广矩阵B=(A,b)的 列向量组a1,a2,,am,b之间也有一一对应的关系。 二、线性组合 定义3给定向量组Aa1,a2,…,am,对于任何一组实数 k1,k2,,km,向量 kya k2az++kmam 称为向量组A的一个线性组合，飞1,2，…，飞m称为这个线性 组合的系数
由此可见，线性方程组与其增广矩阵B＝（A,b）的 列向量组α1，α2，…，αm , b之间也有一一对应的关系。 二、线性组合 定义3 给定向量组A: α1 ,α2 ,…,αm ,对于任何一组实数 k1 , k2 ,…, km ,向量 k1α1 + k2α2 + … + kmαm 称为向量组A的一个线性组合, k1 , k2 , … , km称为这个线性 组合的系数
线性表示给定向量组Aa1,a2,“,an和向量b,如果存 在一组数1,2，，m,使 b=1a1+2a2+…+mam 则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量 组A线性表示。 向量组b能由向量组A线性表示，也就是线性方程组 X1a1+X2a2+…+Xmam= 有解。由上章的定理3，即可得到
线性表示 给定向量组A: α1 ,α2 ,…,αm和向量 b , 如果存 在一组数 λ1 , λ2 , … , λm ,使 b = λ1α1 + λ2α2 + … + λmαm 则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量 组A线性表示。 向量组b能由向量组A线性表示，也就是线性方程组 x1α1 + x2α2 + … + xmαm = b 有解。由上章的定理3，即可得到
定理1向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件 是矩阵A=(a1,a2,,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…, am,b)的秩。 三、等价向量组 定义4设有两个向量组Aa1,a2,,am及B:b1,b2, b,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向 量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相 互线性表示，则称这两个向量组等价。 把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A=(a1,a2,,am) 和B=(b1,b2,,b,),B组能由A组线性表示，即对B组的每 个向量b(j=1,2,…,s)存在数k1,2,…,k,使
定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件 是矩阵 A = ( α1 , α2 , … , αm ) 的秩等于矩阵 B =( α1 , α2 , … , αm , b )的秩。 三、等价向量组 定义4 设有两个向量组A: α1 , α2 , … , αm 及B: b1 , b2 ,…, bs ,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向 量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相 互线性表示，则称这两个向量组等价。 把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A = ( α1 ,α2 ,…,αm ) 和B=( b1 , b2 ,… , bs ) ,B组能由A组线性表示，即对B组的每 个向量bj ( j = 1 , 2 , … , s ) 存在数k1j , k2j , … , kmj ,使
bi=kij a+kzj++kmi am =（a1,a2,…,am) 从而(b1,b2,,bs)=(a1,a2,…,Cm） m 这里，矩阵Kmx=(飞)称为这一线性表示的系数矩阵
bj = k1j α1 + k2j α2 + … + kmj αm = ( α1 , α2 , …, αm ) 1 2 j j mj k k k 从而 ( b1 , b2 ,… , bs ) = ( α1 , α2 , … , αm ) 11 12 1 21 22 2 1 2 . s s m m ms k k k k k k k k k 这里，矩阵Km×s= ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵
由此可知，若C三Amxs Bsxr,则矩阵C的列向量 组能由A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩 (C1,C2,…,Cn）=(a1,a2,…,a） 09 sn 同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这 表示的系数矩阵：
由此可知，若 C m×n = Am×s Bs×n ,则矩阵C的列向量 组能由A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩 ( c1 ,c2 , … , cn ) = (α1 , α2 , … , αs ) 11 12 1 21 22 2 1 2 ; n n s s sn b b b b b b b b b 同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这一 表示的系数矩阵： 1 1 11 12 1 2 2 21 22 2 1 2 . T T s T T s T T m m ms m s a a a a a a a a a =
综合上面的讨论，我们得出矩阵4A经过初等行变换变成 矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组合，即B 的行向量组能由A的行向量线性表示。由于初等变换可逆， 则矩阵B亦可经初等行变换变为A,从而A的行向量组也能 由B的行向量组线性表示。于是A的行向量组与B的行向量 组等价。 同理可知，若矩阵A经过初等列变换变成矩阵B,则A 的列向量组与B的列向量组等价。 等价矩阵所对应的线性方程组是同解方程组
综合上面的讨论，我们得出矩阵A经过初等行变换变成 矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组合，即 B 的行向量组能由A的行向量线性表示。由于初等变换可逆， 则矩阵B亦可经初等行变换变为A，从而 A 的行向量组也能 由B 的行向量组线性表示。于是 A的行向量组与B的行向量 组等价。 同理可知，若矩阵A经过初等列变换变成矩阵B，则A 的列向量组与B的列向量组等价。 等价矩阵所对应的线性方程组是同解方程组
四、向量组的线性相关性 定义5给定向量组A:a1,a2,,am,如果存在不全为 零的数k1,2,，km’使 k1a1+2a2+…+kmam=0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。 1)一个向量a线性相关的充分必要条件是a=0。 2)两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的 分量成比例。 3)三个向量线性相关的几何意义是三向量共面
四、向量组的线性相关性 定义5 给定向量组A: α1 , α2 , … , αm ,如果存在不全为 零的数k1， k2 ，... ， km，使 k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。 1）一个向量 α 线性相关的充分必要条件是 α＝0。 2）两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的 分量成比例。 3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面