吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 54-5-6-7 §7 用合同变换法化二次型为标准形

§7.用合同变换法化二次型为标准形 定义10.若对方阵A作一次初等行变换，接着对所得 矩阵作一次同种的初等列变换，就称对A进行一次合同变 换 用合同变换法化二次型为标准形的实质是： 利用可逆线性变换x=G,,把f=xTAx化为标准形，即 f=xTAx=(Cy)TACy=y TCT ACy=yTAy 只须CTAC=A

§7.用合同变换法化 二次型为标准形 定义10. 若对方阵 A 作一次初等行变换，接着对所得 矩阵作一次同种的初等列变换，就称对A 进行一次合同变 换. 用合同变换法化二次型为标准形的实质是： 利用可逆线性变换 x=Cy ，把 f =x TAx 化为标准形，即 f=x TAx=(Cy) TACy=y TCT ACy=y T Λ y 只须 CT AC= Λ

又因C=PP2…P,其中P,P2,…，P均为初 等方阵所以 (PP2…P)A PP2…P=1 即 PT…P2 PTAPP2…P、=A 而 PTP2TPT=PsT…PT PTE=C (2 结合(1)和(2)，得出将A化成对角形矩阵，同时求出可逆矩 阵C

又因 C= P1P2 … Ps ,其中P 1， P 2， … ，P s 均为初 等方阵.所以 （ P1P2 … Ps ) TA P1P2 … Ps = Λ 即 Ps T …P2 T P1 TA P1P 2 … P s = Λ (1) 而 PS T …P2 T P1 T= PS T … P2 T P1 TE=CT (2) 结合(1)和(2) , 得出将 A化成对角形矩阵，同时求出可逆矩 阵C:

A合同变换 (A E (C) E作行变换 求出CT,作可逆线性变换x=C, 则该变换将f化为标准形 f=k1y2+ky22++ky,2。 例3利用合同变换将 f=2xX2+2xx3-2xx4-2x2x3+2x2x4+2x3x4 化为标准形，并写出所用的可逆线性变换

(A | E) (Λ | CT ) A合同变换 E作行变换 求出CT , 作可逆线性变换 x=Cy, 则该变换将f 化为标准形. f = k1y1 2+k2y2 2+…+kryr 2 。 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 3 2 2 2 2 2 2 . = + − − + + 例 利用合同变换将 化为标准形，并写出所用的可逆线性变换 f x x x x x x x x x x x x

解 011-11000 10-110100 (AE)= 1 -10 01 0 11 2 0 2 2 0 0 1

              − − − − = 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 ( | ) . A E 解               − −               − − − 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 ~ 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 ~               − −               − − 0 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 ~ 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 2 2 0 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 ~

2 2001100 0 -2 -2 2 -110 0 0 -2 0 2 0 2 110 0 -2 2 -1 0 -2 0 2 0 (20001100 2 0 00 11 0 0 0-2-22-1100 0-2 0 2 -11 0 0 0 0 2-11 -110 0 0 2 -11 -1 10 0 2100 001 02-1 000 0

              − − − −               − − − − 0 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0 2 2 2 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 ~ 0 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0 2 2 2 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 ~               − − − − −               − − − − − 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 1 1 1 0 0 2 0 2 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 ~ 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 1 1 1 0 0 2 2 2 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 ~

2 0 0 2 0 2 0 0 -2 0 0 -2 8- 2 2

              − − − − − −               − − − − − − 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 2 1 1 1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 ~ 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 2 1 1 1 1 0 0 2 0 2 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 ~               − − − − − − 0 0 2 8 2 2 0 2 0 0 2 2 1 1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 ~

20001100 0-200-1100 0 0201-1 10 0006-1112 于是，求得： 10

              − − − − 0 0 0 6 1 1 1 2 0 0 2 0 1 1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 ~ T 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 , . 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 2 0 0 0 2 C C     − −     − −     = =     −         − 于是，求得：

作可逆变换x=Cy,即 X2 把f化成标准形 f=2y-2y3+2y+6y

1 1 2 2 3 3 4 4 , 1 1 1 1 1 1 1 1 , 0 0 1 1 0 0 0 2 x=Cy       − −       −       =                   作可逆变换 即 x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 6 . 1 2 3 4 f f y y y y = − + + 把 化成标准形

例4设二次型 f=4x2+3x+3x3+2x2x3 1)用正交变换化f为标准形： 2)用配方法化f为标准形 3)用合同法化f为标准形 解1)用正交变换化f为标准形 (1)把f写成矩阵形式： 74

1) 用正交变换化 f 为标准形； 2) 用配方法化 f 为标准形; 3) 用合同法化 f 为标准形. ( ) 1 1 2 3 2 3 1 . 1 400 0 3 1 0 1 3 f f y f x x x y y         =             解 ）用正交变换化 为标准形 （）把 写成矩阵形式：

(2)由A-入E=0, 求4的全部特征值 4-入 0 0 1A-入E= =(4-入)（入2-6入+8） =(4-入)2(2-入 =0 得4的全部特征值为入1=2，入2=入3=4

2 2 (2) | | 0, . 4 0 0 | | 0 3 1 0 1 3 (4 )( 6 8) (4 ) (2 ) 0 A E A A E −  = −  −  = −  −  = −   −  + = −  −  = 由 求 的全部特征值 得 的全部特征值为 ， A  =  =  = 1 2 3 2 4