当入2=入3=1时，解方程(A一E)x=0由 7-2 A-E= 得基础解系P2= -2 所以k2,(k≠0)是对应于入2=)3=的全部特征向量 -211 例3求矩阵A= 0 2 0 的特征值和特征向量 -41
当2 = 3 =1时 ，解方程（A－E）x = 0由 − − − = 1 0 1 4 2 0 2 1 0 A E ～ 0 0 0 0 1 2 1 0 1 得基础解系 − − = 1 2 1 2 p 例3 求矩阵 − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A 的特征值和特征向量 所以k p2 (k 0)是对应于2 = 3 =1的全部特征向量
解(1)由A一入E=0,求A的全部特征值。 -2-λ 2-入 3-入 -e-2g =(2-入22-入-2) =-(入+1入-2}=0 得A的特征值为入，=一1入2=入3=2
解 (1)由︱A－λE︱=0,求A的全部特征值。 − − − − − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A E ( ) − − − − = − 4 3 2 1 2 (2 )( 2) 2 = − − − ( 1)( 2) 0 2 = − + − = 得A的特征值为 1 = −1 2 = 3 = 2
(2)由(A一入E)X=0,求A的特征向量。 当入，=一1时，解方程(A+E)x=0 由 得基础解系P,= 所以对应于入，=-1的全部特征向量为k2(飞≠0)
(2)由(A－λE)x = 0,求A的特征向量。 当 1 = −1 时, 解方程（A+E）x = 0 由 1 1 1 0 3 0 4 1 4 A E − + = − ～ − 0 0 0 0 1 0 1 0 1 得基础解系 = 1 0 1 1 p 所以对应于 1 = −1 的全部特征向量为 ( 0，) kp1 k
当入2=入3=2时 解方程(A一2E)x=0,由 2可0 得基础解系 所以对应于入2=入3=2的全部特征向量 飞2P2+k3P3（亿2，k不同时为零
当2 = 3 = 2时 解方程（A－2E）x = 0 ,由 − − − = 4 1 1 0 0 0 4 1 1 A 2E ～ − 0 0 0 0 0 0 4 1 1 得基础解系 = − = 4 0 1 1 1 0 2 3 p , p 所以对应于2 = 3 = 2的全部特征向量 2 2 3 p3 k p + k ( 不同时为零) 2 3 k ,k
例4设)是方阵A的特征值，则22是A的特征值： 证因为入是方阵A的特征值，设为P0,使 AP=λP 于是 APP=A(4P)=A0P)=(4P)=(0P)=入2P 所以，2是4的特征值 例5设3阶方阵A满足A3-3A2+2A=0,求A的特征值 解设入是A的特征值，x是A的关于)所对应的特征向量 则AX=)X,从而4一32x+2Ax=0 (23-322+2见)x=0又x0 所以 入3-3元2+2入=0，从而(22-3%+2)=0
例4 设λ是方阵A的特征值, 证 因为λ是方阵A的特征值,设为P ≠0,使 AP = λP, 于是 A P = A(AP) 2 = A(P) = (AP) ( P) P 2 = = 所以 2 是A 2 的特征值 例5 设3阶方阵A满足 求A的特征值 解 设λ是A的特征值, x是 A 的关于 λ 所对应的特征向量 则Ax = λx，从而 3 2 0 3 2 A x − A x + Ax = 3 2 0, 3 2 A − A + A= 又 x≠0, 3 2 0, 3 2 所以 − + = 3 2 0 2 从而 ( − + ) = 3 2 ( 3 2 ) 0 − + = x 2 2 则 是 的特征值. A
即 λ(0-1)入-2)=0 故得A的特征值为：入，=0，入2=1，入3=2。 例6若λ是可逆阵A的特征值，x是A的关于入所对应 的特征向量，则 ①片是A的特征值 ) 是A的特征值x仍是它们的特征向量 证 (1)由已知，Ax=入x,两边左乘4 x=入A-1x 从而 A-x
即 λ(λ－1)(λ－2) = 0 故 得A的特征值为： 例6 若λ是可逆阵A的特征值 , x 是 A的关于λ所对应 的特征向量,则 1 = 0,2 =1,3 = 2 ( ) 是 1 的特征值 1 1 − A ( ) 是A 的特征值 x仍是它们的特征向量 A . 2 x A x −1 = A x x = − 1 从而 1 ( ) 1 1 , , Ax x A− 证 由已知 两边左乘 = 。 。
由定义知 是A的特征值 (2)因Ax=入x,两边左乘A AAx=入Ax 即 Ax=AA'x 从而 A"x= 故 是A的特征值。 x是4关于4所对应的特征向量
( ) 2 因Ax = x, 两边左乘A 1 1 , A 由定义知 是 的特征值. − A Ax A x = A x A x 即 = A A x x 从而 = A A 故 是 的特征值。 A x A 是 关于 所对应的特征向量。
由上面各例类推，不难证明，若入是A的特征值，则入是 A的特征值，p(2)是p(A)的特征值。 其中o0)=a+a入++an入，0(4)尺a,E+aA++an4 例7设有4阶方阵A满足|A+3E|=0,且AA=2E,A<( 求A*的一个特征值 解由A+3E=0,即A-(-3)E=0 知 入=-3是4的一个特征值。 又 A4=2E=2,得4=16， 从而 4=4,而4<0，所以4=-4， 故 A*的一个特征值为： A
由上面各例类推,不难证明,若 λ是A的特征值, 则λ k是 Ak的特征值， ( ( ) ( ) ) m m m 其中 = a0 + a1 ++ am , A = a0 E + a1 A++ a A 例7 设有4阶方阵A满足︱A+3E︱=0, AA E, A , T 且 = 2 0 求A的一个特征值. 解 由A+3E = 0,即A−(−3)E = 0 ( )是 的特征值。 (A) 知 是 的一个特征值。 = −3 A 4 2 2 2 , 16 T 又 得 ， AA E A = = = 从而 而 所以 ， A A A = = − 4, 0, 4 4 4 : 3 3 A A − = = − 故 的一个特征值为 。
四、特征值与特征向量的有关定理 定理2设入1,2，，入m是A的m个特征值，p1, 卫2，，卫m依次是与之对应的特征向量，若1,2，…，入m 各不相同，则p1,P2,,Pm线性无关， 证设有常数x,x2,,xm使 xP十x2P2++XmPm=0 则A(xP1+x2P2++xmDm)=0,即 入x1p1+入2X2P2+…+入nXm Pm=0 (2 在(2)两边左乘A,并Ap=入P,j=1,2,,m 得 入12x卫，+入2P2++入mPm=0 (3
四、特征值与特征向量的有关定理 定理2 设 λ1，λ2，… ，λm 是A的m个特征值，p1， p2 ,… , pm依次是与之对应的特征向量，若λ1，λ2，…，λm 各不相同，则p1， p2，… ，pm线性无关． + + + = 0 m m x1 p1 x2 p2 x p 则A( x1 p1 + x2 p2 ++ xm pm ) = 0 ,即 ⑴ ⑵ 在（2）两边左乘A， 并A p j = j p j j =1,2, ,m 得 ⑶ + + + = 0 m m m 1 x1 p1 2 x2 p2 x p + + + = 0 m m m x p x p x p 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 , , , 证 设有常数 使 x x xm
依次做下去 入mxP+入mxP,++入mPm=0 (m 将上面m个式子联立成线性方程组，得向量方程组 x P +X2P2 xmPm三0 人xP1+ X2P2 十…十 人nXm Pm +x2P2 +…十 由于系数行列式是范得蒙行列式，所以
依次做下去 + + + = 0 − − − m m m m m m x p x p x p 1 2 2 1 1 1 2 1 1 (m) 将上面m个式子联立成线性方程组,得向量方程组 由于系数行列式是范得蒙行列式,所以 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 m m m m m m m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p − − − + + + = + + + = + + + = + + + = x x x λ x λ x λ x λ x λ x λ x λ x λ x λ x