§4对称矩阵的相似矩阵 定理5对称矩阵的特征值为实数 证设复数λ为对称矩阵A的特征值，复向量x为入为 应的特征向量，即Ax=2x,x0。 用入表示入的共轭复数 用取表示x的共轭复向量， 则 Ac=A=()=2=x于是有 x"Ax=x"(Ax)-x"Ax=Ar"x. xTAx=(TA)x=(A)x=(入x)x=入xx 两式相减，得 (入-入)xx=0
§4 对称矩阵的相似矩阵 定理5 对称矩阵的特征值为实数. 证 设复数 λ 为对称矩阵 A 的特征值 , 复向量 x 为 λ 对 应的特征向量,即Ax = λ x , x≠0 。 用表示的共轭复数, 用x表示x的共轭复向量, ( ) , T T T T x Ax = x Ax = x x = x x ( ) ( ) ( ) . T T T T T T x Ax = x A x = Ax x = x x = x x 两式相减,得 ( ) 0, T − x x = 则 于是有 Ax Ax Ax x x = = = = ( ) ( )
但因x≠0，所以 xx=∑xx=0 故入-入=0，即，=入，这就说明入是实数 显然，当特征值入，为实数时，齐次线性方程组 (A-入，E)x=0 是实系数方程组，由A-入，E=0知必有实的基础解 系，所以对应的特征向量可以取实向量 定理6设入1，入2是对称矩阵4的两个特征值，卫，P2是对 应的特征向量.若入，≠入2，则p与印2正交
但因x 0,所以 x x = T 0, 2 1 1 = = = n i i i n i i x x x 故 − = 0,即 = ,这就说明是实数. 显然,当特征值i 为实数时,齐次线性方程组 （A−i E)x = 0 是实系数方程组,由 A−i E = 0 知必有实的基础解 系,所以对应的特征向量可以取实向量. 定理6 , , 设1 2 是对称矩阵A的两个特征值 , . 若1 2 则p1 与p2 正交 1 2 p p, 是对 应的特征向量
证因为4p,=入P,Ap2=入2P2且1≠ 所以xP,'p=P'P=p,Ap,=pA'p =(4p2)'卫=(0P)'p1=入，P2p 从而 (01-入2)P2p=0 但入，≠入2，故卫，P2=0,即p与P2正交 定理7设A为阶对称矩阵，入是A的特征方程的r重根 则矩阵A一入E的秩R(A一E)=n一r,从而对应特征值入恰有r 个线性无关的特征向量
证 1 1 1 2 2 2 1 2 因为Ap = p , Ap = p .且 1 1 T 1 2 T 1 2 所以 p p = p p 1 T T 1 2 T 2 = p Ap = p A p 1 T 1 2 2 T 1 2 2 T 2 = (Ap ) p = ( p ) p = p p 定理7 设 A为 n阶对称矩阵,λ是A的特征方程的r重根, 则矩阵A－λ E的秩R(A－λE)=n－r,从而对应特征值λ恰有r 个线性无关的特征向量. T 1 2 2 1 从而 (λ λ ) 0 − = p p T 1 2 1 2 1 2 但 故 即 与 正交 λ λ , 0, . = p p p p
定理8设A为阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 P1AP=Λ 其中A是以A的个特征值为对角元素的对角矩阵， 证设4的互不相等的特征值为入1，入2，…，入，？ 它们的重数依次为了，，，了，(G+3+…十r=) 根据定理5及定理7知，对应特征值入，(i=1,2,S), 恰有个线性无关的实特征向量，把它们施密特标准正交化 即得r个两两正交单位特征向量。由斯+5十…+r,三n, 知这样的特征向量共可得n个 按定理6知对应于不同特征值的特征向量正交，故这n 个单位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成正 交矩阵P,并有
定理8 设A为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使 P-1AP=Λ 其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵. 证 设 A的互不相等的特征值为 , , , , 1 2 s 它们的重数依次为 根据定理5及定理7知,对应特征值 (i 1,2, s), i = 恰有ri 个线性无关的实特征向量， 把它们施密特标准正交化, , , , ( ). r1 r2 rs r1 + r2 ++ rs = n , 由r1 + r2 ++ rs = n 知这样的特征向量共可得n个. 按定理6知对应于不同特征值的特征向量正交,故这 n 个单位特征向量两两正交 。于是以它们为列向量构成正 交矩阵P,并有 即得ri 个两两正交单位特征向量
PAP=A 其中对角矩阵Λ的对角元素含个)，乃个，2，…，了，个入， 恰是A的m个特征值 例1设 求一个正交矩阵P,使PAP=人为对角矩阵 解①由A一入E=0,求A的全部特征值 4-入0 0 A-入E 3-入 (4-入)入-6入+8) 3-入
. 1 = − P AP , , , , 1 1 2 2 s s 其中对角矩阵的对角元素含r个 r 个 r 个 恰是A的n个特征值. 例1 设 , 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A = , . 求一个正交矩阵P 使P −1 AP = 为对角矩阵 解 ①由|A－λE| = 0 , 求 A 的全部特征值. − − − − = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 A E (4 )( 6 8) 2 = − − +