第一节 正交多项式 一、正交函数系与正交多项式 二、 正交多项式的性质 三、Legendre多项式 四、 Chebyshey多项式 五、其它常用的正交多项式 六、小结
第一节 正交多项式 一、 正交函数系与正交多项式 二、 正交多项式的性质 六、小结 三、 Legendre 多项式 四、 Chebyshey 多项式 五、其它常用的正交多项式
一、正交函数系与正交多项式 定义1给定函数o(x),x∈[a,b]若px)满足 (1)px)≥0，x∈(a,b) (2)"p(x)d> (3)积分p(x)xdk存在，n=0,1… 则称p(x为a,b]上的权函数 权函数px)的一种解释是物理上的密度函数，相应的J。p(x) 表示总质量.P(x)=常量，表示质量分布是均匀的
一、 正交函数系与正交多项式 定义1 给定函数 ( ), [ , ] x x a b 若 ( ) x 满足: (1) ( ) 0, ( , ); x x a b ( ) 0 b a x dx (2) 权函数 ( ) x 的一种解释是物理上的密度函数,相应的 ( ) b a x dx 表示总质量. ( ) x =常量,表示质量分布是均匀的. (3) 积分 ( ) b n a x x dx 存在,n=0,1,…. 则称 ( ) x 为[a,b]上的权函数
定义2给定f(x),g(x)Eca,b,p(x)是a,b上的权函数，称 (f.g)=()()g(x 为函数f与g在[a,b上的内积， 内积具有下列简单性质： (1)(f,g)=(g,f) (2)(af,g)=a(f,gia∈R (3)(f+f,8)=(f,8)+(f,8) (4)当f≠0，(f,f)>0 我们知道，一个向量的长度的几何概念，对于函数空间及逼近有 许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中，我们有一种 度量两个向量u及ⅴ之间距离的方法，我们也想用长度来度量 一个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词
( ) , ( ) ( ) ( ) b a f g = x f x g x dx 为函数f与g在[a,b]上的内积. 内积具有下列简单性质: 我们知道,一个向量的长度的几何概念,对于函数空间及逼近有 许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中,我们有一种 度量两个向量u 及v之间距离的方法,我们也想用长度来度量 一个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词. 定义2 给定 f x g x c a b ( ), ( ) [ , ] , ( ) x 是[a,b]上的权函数,称 (1) ( , ) ( , ) f g g f = (2) ( , ) ( , ); f g f g R = (3) 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) f f g f g f g + = + (4) 当 f f f 0,( , ) 0
定义3一个实值函数称为一个函数空间的范数，如果它在 空间处处有定义并满足条件： (1)f≥0， (2)laf=af:a为任意常数 (③)f+gsf+s 在闭区间上连续的函数f(x的最常见范数有： (1)》 最大值范数： fl=maxf(x)x∈[a,b] (2) 欧氏范数(L,范数)： /2=px/x)P]k)月 (1.2
定义3 一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在 空间处处有定义并满足条件: (1) 最大值范数: (2) 欧氏范数(L2范数): (1) f 0, (2) f f = ; 为任意常数 (3) f g f g + + 在闭区间上连续的函数 的最常见范数有: f x( ) f f x x a b max ( ) ; [ , ] (1.1) = (1.2) 1 2 2 2 ( ( )[ ( ) ] ) a b f x f x dx =
定义4 若内积 U,g)=广px)/xg(xk=0 则称f与g在区间[a,b上带权px)正交，若函数p2.….… 满足： 0p,）=Jpxo.(p,(xd={ 0,(J≠k) 4>0,(j=k) 则称{}是[a,b]上带权px)的正交函数系当p(x)是代数多 项式时，称为正交多项式： 下面我们列举几个最常见的正交函数系
定义4 若内积 ( , ) ( ) ( ) ( ) b k j k j a = x x x dx 0,( ) 0,( ) k j k A j k = = 则称{ } k 是[a,b]上带权 ( ) x 的正交函数系.当 ( ) k x 是代数多 项式时,称为正交多项式. 下面我们列举几个最常见的正交函数系. ( , ) ( ) ( ) ( ) 0 b a f g x f x g x dx = = 满足: 则称 f 与 g 在区间 [ , ] a b 上带权 ( ) x 正交，若函数 0, 1, 2, n
例1、三角函数系 1, cosx,simx,cos2x,sin2x,,cosx,sinx,在区间-元，兀] 上两两正交，因为 cos kx cos jxdx=0,(k≠) sin kxsin jxdx=0,(k≠) cosin ["sin2 hardx [cos"koxdx
例 1 、 三角函数系 2 2 cos cos 0,( ) sin sin 0,( ) cos sin 0 sin cos kx jxdx k j kx jxdx k j kx jxdx kxdx kxdx −−− − − = = = = = 1 ， 在区间 [ -π, π ] 上两两正交 ,因为 cos ,sin ,cos2 ,sin2 , ,cos ,sin , x x x x nx nx
二、正交多项式的性质 设{g(x)}是在[a,b]上带权正交的多项式序列，其中8(x) 表示n次正交多项式： 8n(x)=Anx”++Ax+…+A,(An≠0) (1.8) 若记 n=0,1,2 8(x)=Sm) A 则g(x)的最高次项的系数为1，并且g(x)也是在[a,b上带 权正交的n次多项式。 性质1关于权函数p(x)的任意正交函数系{g(x)}都是线性 无关的
二、 正交多项式的性质 1 0 ( ) ,( 0) (1.8) n n n n g x A x A x A A = + + + + n = 0,1,2 若记 * ( ) ( ) , n n n g x g x A = n 则 的最高次项的系数为1，并且 也是在 上带 权正交的 次多项式。 * ( ) n g x * ( ) n g x [ , ] a b 设 是在 上带权正交的多项式序列，其中 表示 次正交多项式： g x k ( ) [ , ] a b ( ) n g x n 性质1 关于权函数 的任意正交函数系 都是线性 无关的。 ( ) x g x k ( )
事实上，要是Cg(x)++Cg(x)=0,则以px)8,(x)乘等式 的两边并积分，得到C=0(k=0,l,2…,n)由此可知 推论1任何次数不超过n的多项式qx)可由正交多项式 g(x),8(x),,8(x)线性表出，即 9x)=】 (1.9 推论2 任何次数不超过n的多项式9(x)必定同g(x)带权 正交，即 (9(x),8+1(x)=0,(k=0,1,n) 特别地有 (xk,8n(x)=0.(k=0,1,…n
( ) 0 ( ) ( ) 1.9 n k k k q x C g x = = 1 ( ( ), ( )) 0,( 0,1, ) q x g x k n k n+ = = 特别地有 1 ( , ( )) 0.( 0,1, ). k n x g x k n + = = 事实上，要是 则以 乘等式 的两边并积分，得到 由此可知 ( ) ( ) k x g x 0 0 ( ) ( ) 0, C g x C g x + + = n n C k n k = = 0 0,1,2 , . ( ) 推论1 任何次数不超过 的多项式 可由正交多项式 线性表出，即 n q x( ) 0 1 ( ), ( ), , ( ) n g x g x g x 推论2 任何次数不超过 的多项式 必定同 带权 正交,即 n ( ) k q x 1 ( ) n g x +
性质2对于最高次项系数为1的正交多项式g(x)存 在着递推关系 g(x)=(x-B)g()-Yng(x) (1.10) 其中 B=(xgng)/(gng). Yn=(8n,8n)(g,8-) 证明由于xg(x)是n+1次多项式，因此可由g(x),g(x),gm(x) 线性表出，即存在C,C,…,C使 xg(x尸Co8(x十C8i十…+Cn+18n+(x)(1.11) 比较x两边的系数，可见C=1。两边乘以g(x)px)并积分
1 -1 ( ) ( - ) ( )- ( ) (1.10) n n n n n g g g x x x x + = 其中 * * * * * * * * 1 1 ( , ) /( , ), ( , ) /( , ). n n n n n n n n n n xg g g g g g g g − − = = 0 0 1 1 +1 +1 g ( )= ( )+ ( )+ + ( ) (1.11) n n n x x C g C g C x x x g 性质2 对于最高次项系数为1的正交多项式 存 在着递推关系 g x k ( ) 证明 由于 * ( ) n xg x 是 次多项式，因此可由 * * * 0 1 1 ( ), ( ), , ( ) n g x g x g x n +1 + 线性表出，即存在 C C C 0 1 1 , , , n+ 使 比较 两边的系数，可见 。两边乘以 并积分 * ( ) ( ) k x n+1 g x x 1 1 Cn+ =
有(ga,g)=C(g,8从而 C=(gnxgk )/(gkgk) 当k<n-1时，因为g是k+1<n次多项式，(g,xg)=0,所以 C5=0,k=0,1…,n-2 当k=n-1时 C1=(8xg)/(88） 而 xg(x)=g (x)+C-8(x)++Cogo(x) 故 (xgn1gn)=(gn8.）
有 ( xg g C g g n k k k k , , ) ( ) = 从而 n k k k (g , g ) /(g ,g ) C x k = C g xg g g n n n n n 1 1 1 1 ( , / , ) ( ) − − − − = 而 ( ) ( ) ( ) * * * 1 1 1 0 0 = + ( ) n n n n xg x g x C g x C g x − − − + + 故 n-1 n n n ( g ,g )=(g ,g ) x * k 当 k n −1 时，因为 xg 是 k n + 1 次多项式， ( , ) 0 g xg n k * * = ，所以 0, 0,1, , 2 C k n k = = − 当 k n = −1 时