第二章导数与微分 导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出 微积分学的创始人：Newton(英)Leibniz(德) 导数 描述函数变化快慢 微分学 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具（从微观上研究函数）
第二章 导数与微分 导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出 微分学 微积分学的创始人: Newton（英）Leibniz（德） 导数 微分 描述函数变化快慢 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)
第二章！ 导数与微分 主要内容： 一、 导数的概念 二、导数的运算法则 三、高阶导数 四、隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 五、函数的微分
第二章 导数与微分 主要内容： 一、导数的概念 二、导数的运算法则 三、高阶导数 四、隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 五、函数的微分
§2.1导数的概念 主要内容： 导数的 可导与 定义 左右可 与导数有关的概念 导关系 左右导数 的定义 可导与 导函数 内在联系关系 连续的 的定义 关系
主要内容： §2.1 导数的概念 与 导 数 有 关 的 概 念 导数的 定义 左右导数 的定义 导函数 的定义 内 在 联 系 关 系 可导与 左右可 导关系 可导与 连续的 关系
导数的定义 (1)背景：设一质点在坐标轴上作非匀速运动，时刻t质点的坐标为s,s是t的 函数s=孔t),求动点在时刻的速度 分析：(1)动点在时间间隔△1=1-，内的平均速度 F=△s=fG,+△)-f) △t △t (2)动点在时刻t的速度 f(6+△)-f(to) △t
一、导数的定义 （1）背景：设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻 t 质点的坐标为 s, s 是 t 的 函数 s=f(t), 求动点在时刻 t0的速度 分析：（1）动点在时间间隔 0 Δttt = − 内的平均速度 （2） 动点在时刻 t0的速度 0 0 s f ( ) () t t f t v t t Δ + Δ − = = Δ Δ 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim lim t t s ft t ft v t t t Δ→ Δ→ Δ + Δ − = = Δ Δ
一、 导数的定义 (2)导数的定义 设函数y=x)在点x的某 (1)如果△y与△x之比当△x→0时的极限存在则称函 个邻域内有定义，当自变 数=x)在点处可导并称这个极限为函数=孔x) 在点处的导数记作yfx,) df(x) 量x在xo处取得增量△x ’dx x=xo (点xo+△x仍在该邻域内) f(xo)=lim 、f(x,+△x)-f(x) △x 时，相应地函数y取得增 (2) 如果△y与△x之比当△x→0时的极限不存在 则称函数x)在点x处不可导 量△y=xo+△x)xo) (3)如果，：“也称在处导数是无穷大容
一、导数的定义 （2）导数的定义 设函数 y=f(x)在点 x0的某 个邻域内有定义,当自变 量 x 在 x0处取得增量Δx (点 x0+Δx 仍在该邻域内) 时,相应地函数 y 取得增 量Δy=f(x0+Δx)−f(x0) （1）如果Δy 与Δx 之比当Δx→0 时的极限存在则称函 数 y=f(x)在点 x0处可导并称这个极限为函数 y=f(x) 在点 x0处的导数记作 0 x x y = ′ 0 f ′( ) x 0 0 d d() , d d x x xx y fx x x = = 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim x f x x f x f x Δ → x + Δ − ′ = Δ （2）如果Δy 与Δx 之比当Δx→0 时的极限不存在 则称函数 y=f(x)在点 x0处不可导 （3）如果 0 lim x y Δ → x Δ = ∞ Δ 也称 f(x)在 x0处导数是无穷大
一、导数的定义 注记1：导数是函数的增量与自变量 注记2：运动质点s=)在时刻的 增量比的极限.因此导数 瞬时速度为是儿 的表达形式可以由 不同形式 注记3：运动质点=g()在时刻的 )6+4-f △x 瞬时加速度为是a=y= dil fF+-1 h f()=lim f()-f() 注记4：/(x)是y=f(x)的图形在 x→0 x-Xo 点(x,f(x)处切线的斜率
一、导数的定义 注记 1：导数是函数的增量与自变量 增量比的极限.因此导数 的表达形式可以由 不同形式 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim ( ) () ( )=lim () ( ) ( ) lim x h x x f x x f x f x x fx h fx f x h fx fx f x x x Δ → → → + Δ − ′ = Δ + − ′ − ′ = − , 注记 2： 运动质点 s=f(t)在时刻 t0的 瞬时速度为是 0 0 d d tt tt s v s t = = = = ′ 注记 3：运动质点 v=g(t)在时刻 t0的 瞬时加速度为是 0 0 d d tt tt v a v t = = = = ′ 注记 4： ( ) 0 f ′ x 是 y= f ( x ) 的图形在 点 0 0 ( , ( )) x f x 处切线的斜率
例1：证明函数f(x)= xsin-,x≠0 在x=0处可导 0, x=0 分析：(1)求出自变量的增量为△x时函数值的增量△y的表达式 (2)求出是的表达式 △y (3)求出im r-0△x 证明：当自变量的增量为△x≠0时函数值的增量 y=f0+w-f0=isn太 因此 =(Ar)sin △x 4 由于A→0时Ax是无穷小量，A￥0时simA有界，所以AsnA是无穷 故是0即在在=0处可导
例 1：证明 2 1 sin , 0 () 0 . 0, 0 x x fx x x x ⎧⎪ ≠ = = ⎨⎪⎩ = 函数 在 处可导 分析：（1）求出自变量的增量为Δx时函数值的增量Δy的表达式 （2）求出 y x Δ Δ 的表达式 （3）求出 0 lim x y Δ → x Δ Δ 证明：当自变量的增量为Δx ≠ 0时函数值的增量 ( )2 1 yf x f x (0 ) (0) sin x Δ = +Δ − = Δ Δ 因此 ( ) 1 sin y x x x Δ = Δ Δ Δ 由于Δ →x 0时Δx 是无穷小量， Δx ≠ 0 时 1 sin Δx 有界，所以 1 xsin x Δ Δ 是无穷小 故 0 lim 0 x y Δ → x Δ = Δ 即 f ( )x 在在 处可导 x = 0
二、左右导数 1)若一习存在，则称函数)刚(2)若一 存在，则称函数x) 在点x处左可导，并称这个极限为函在点x处右可导，并称这个极限为函 数yx)在点x处的左导数，记作(C数x)在点x和处的右导数，记作(x) 即f(x)=lim Ay=lim f(x+△x)-f(x 即 Ay=lim f(x。+△x)-f(x) △x-0△X△r→0 △x f:(xo)=lim △x→0t△X△r-→0 △x 定理1：函数y=∫(x)在点处可导的充分必要条件是左右导数存在且相等 注记5：(1)若f(x,fx,)存在但不相等，则fx)在x处不可导 (2)若f(x),f(x)至少有一个不存在，则fx)在x处不可导
二、左右导数 （1） 若 0 lim x y x − Δ → Δ Δ 存在，则称函数 y=f(x) 在点 x0处左可导，并称这个极限为函 数 y=f(x)在点 x0处的左导数,记作 0 f ( ) x −′ 即 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim lim x x y f x x f x f x x x − − − Δ→ Δ→ Δ + Δ − ′ = = Δ Δ （2）若 0 lim x y x + Δ → Δ Δ 存在，则称函数 y=f(x) 在点 x0处右可导，并称这个极限为函 数 y=f(x)在点 x0处的右导数,记作 0 f ( ) x +′ 即 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) lim lim x x y f x x fx f x x x + + + Δ→ Δ→ Δ + Δ − ′ = = Δ Δ 定理 1：函数 y fx = ( )在点 x0处可导的充分必要条件是左右导数存在且相等 注记 5：（1）若 0 0 f '( ) '( ) x f x − + ， 存在但不相等，则 f (x)在 0 x 处不可导 （2）若 0 0 f '( ), '( ) x f x − + 至少有一个不存在，则 f (x)在 0 x 处不可导
例3：讨论函数f(x)=x在x=0处的可导性 x,x>0 分析：由于fx)=x= 0,x=0,因此需要用左右导数来判断f(x)在x=0处的可导性 -x,x<0 解：显然y=f0+A-f0A, 所以 y=x Ax △x △x f'(0)=lim Ay=lim f(0+△x)-f(0) lim -Ax= △r→0△x△x→0 △x h-→0△x 0 (0)=lim A-lim)()=lim1 △x-0△x △x h-0△x 因此f(0)≠(0)，故f(x)在x=0处不可导
例 3： 讨论函数 在 处的可导性 fx x x () 0 = = 分析：由于 , 0 ( ) 0, 0 , 0 x x fx x x x x ⎧ > ⎪ == = ⎨⎪⎩− < ，因此需要用左右导数来判断 fx x () 0 在 处的可导性 = y = x x y o 解：显然 yf xf (0 ) (0) x x x x Δ +Δ − Δ = = Δ Δ Δ ， 所以 00 0 (0 ) (0) (0) lim lim lim 1 xx h y f xf x f x x x + ++ + Δ→ Δ→ → Δ +Δ − Δ ′ = = == Δ ΔΔ 00 0 (0 ) (0) (0) lim lim lim 1 xx h y f xf x f xxx − −− − Δ→ Δ→ → Δ + Δ − −Δ ′ = = = =− Δ Δ Δ 因此 f f (0) (0), + − ′ ≠ ′ 故 fx x () 0 在 处不可导. =
三、导函数 (1)如果对每一x∈(a,b),y=f(x)都有导 (2)如果对每一x∈(a,b), 数，即对每一xe(a,b)都有一个导数值 y=fx)都可导， 与之对应，则得到一个函数，此函数叫 且f(a),f(b)存在， f)的导函数记为f),y),业或旷到 则称f在[a,b1上可导 dx dx f'(x)=lim fx+△)-f因=lim f(x+h)-f(x) A+0 △x 注记6：f)=fw儿.* dx Vormal U
三、导函数 （1） 如果对每一 x∈(a,b) , y=f (x)都有导 数，即对每一 x ∈(a,b)都有一个导数值 与之对应，则得到一个函数，此函数叫 f (x)的导函数记为 f ′(x) , y′(x)， x f x x y d d ( ) d d 或 . x0 0 ( ) () ( ) () ( )= lim limh f x x fx fx h fx f x Δ→ → x h +Δ − + − ′ = Δ （2）如果对每一 x∈(a,b) , y=f (x)都可导， 且 f (a), f (b) + − ′ ′ 存在， 则称 f(x)在[a,b]上可导. 注记 6 ： 0 0 0 d( ) ( ) ( )| d x x f x fx fx x = ′ ′ = ≠