§8.6多元函数微分法的几何应用举例 空间曲面的切 平 面与法线 空间曲线的切 曲线的参数方 线 主要 内容 程 与法平面 及一般方程 曲面隐函数方 程及 显函数方程
空间曲线的切 线 与法平面 §8.6 多元函数微分法的几何应用举例 曲线的参数方 程 及一般方程 空间曲面的切 平 面与法线 主要 内容 曲面隐函数方 程及 显函数方程
空间曲线的切线与法平面 过空间曲线r两点M与M',作割线MM'当点M'沿曲线T趋于点M时， 如果割线MM'趋于极限位置MT,那么直线MT就称为曲线T在点M处的切线 M' M M x=p(t) 如何求空间曲线「 y=w(t) 如何求空间曲线厂 E(x,y,z）=0 2=o(t) E(x,y,z)=0 上过点 上过点M(xo,yo,2o) M(xo,0)的切线方程？ 的切线方程？
过空间曲线两点M 与M 作割线MM.当点M 沿曲线趋于点M 时 如果割线MM趋于极限位置MT ，那么直线MT 就称为曲线 在点Ｍ处的切线. o z y x M M M o z y x M T 一、 空间曲线的切线与法平面 如何求空间曲线 1 2 ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z F x y z 上过点 0 0 0 M x y z ( , , ) 的切线方程？ 如何求空间曲线 ( ) ( ) ( ) x t y t z t 上过点 0 0 0 M x y z ( , , )的切线方程？
空间曲线的切线与法平面 探究：在T上取对应于t=t。+△t时的点为 设x=p(t),y=yw(),2=0(t)在。处可导 M(x+△x,y%+△y,20+△x) 且p'(t),w(t),o'(t)不同时为零 曲线的割线MM'的方程为 当M'→M时，△t→0割线MM'趋于极限位置 x-0=y-6=2-0 Ar △y MT就是曲线Γ在点M的切线. 取极限 切线方程 曲线的割线MM'的方程为 2-30 X-龙=y-%=3-0 x-0-y-6= △x △y (t)w'(to) @'(t) △t △t △t
一、 空间曲线的切线与法平面 探究： 在上取对应于 0 t t t 时的点为 0 0 0 M x x y y z z ( , , ) 曲线的割线 MM的方程为 0 0 0 x x y y z z xyz 曲线的割线 MM的方程为 0 0 0 x x y y z z xyz t t t 当 M M 时， t 0割线MM趋于极限位置 MT 就是曲线 在点M 的切线. 设 x t y t z t ( ), ( ), ( )在 0 t 处可导 且 0 0 0 ( ), ( ), ( ) t t t 不同时为零 取极限 切线方程 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x y y z z t t t
空间曲线的切线与法平面 定理1(1)x=0(),y=w(),z=0(t)在t。处可导 过切点与切线垂直的平面称 为曲线的法平面 且0'()，yw(t),o'()不同时为零 x=o(t) 注记1（1)y=w(x),z=o(x)在x,处可导 (2)空间曲线r: {y=w)对应于t=。 且W(x),o(x)不同时为零 (z=0(t) 时的点M(xo,o) (2)曲线r: y=v(x) 2=o)上一点M(6) 则（1)曲线r过点M的切线方程为 则(1)曲线r过点M的切线方程为 x-0=y-%=-0 '(to)w'(to)'(to) x-龙=y-=2-0 1w'(x)'(x) (2)曲线r过点M法平面方程为 (2)曲线r过点M法平面方程为 p'(t)x-x)+w(t)y-)+o'(t)(z-2)=0 (x-x)+W'(x)(y-y)+o'(x)(z-z)=0
一、 空间曲线的切线与法平面 定理 1（1） x t y t z t ( ), ( ), ( )在 0 t 处可导 且 0 0 0 ( ), ( ), ( ) t t t 不同时为零 （2）空间曲线： ( ) ( ) ( ) x t y t z t 对应于 0 t t 时的点 0 0 0 M x y z ( , , ) 则（1）曲线过点M 的切线方程为 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x y y z z t t t （2）曲线过点M 法平面方程为 0 0 0 0 0 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 t x x t y y t z z 过切点与切线垂直的平面称 为曲线的法平面 注记 1（1） y x z x ( ), ( )在 0 x 处可导 且 0 0 ( ), ( ) x x 不同时为零 （2）曲线： ( ) ( ) y x z x 上一点 0 0 0 M x y z ( , , ) 则（1）曲线过点M 的切线方程为 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) x x y y z z x x （2）曲线过点M 法平面方程为 0 0 0 0 0 ( ) ( )( ) ( )( ) 0 x x x y y x z z
空间曲线的切线与法平面 注记2：求空间曲线切线方程及法面方程步骤 x=1 例1：求空间曲线「： y=2在点M(1,1,1) xo=(to) z=p (1)确定M(x,,20): =w() 的切线方程及法平面方程 20=0(t6) 解：显然当空间曲线Γ过点M(1,1,1)时t。=1 (2)确定切线的方向向量 又 x'=1,y'=2t,z=3t2 s=(p'(t),w'(t),o'(to) 所以 x6==1y61=2,26=3 (3)写出切线的标准方程 因此切线的方向向量3=(1,2,3) x-0=y-%=2-0 x-1-y-1_2-1 '(to)v'(to)'(to) 故切线方程 1 23 (4)写出法平面的法式方程 法平面的法式方程 1(x-1)+2.(y-1)+3.(z-1)=0 p'(t)x-x)+w'()y-)+0'(t)(z-2o)=0 即 x+2y+3z-6=0=0
一、 空间曲线的切线与法平面 注记 2：求空间曲线切线方程及法面方程步骤 （1）确定 0 0 0 M x y z ( , , ): 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x t y t z t （2）确定切线的方向向量 s t t t ( ), ( ), ( ) 0 0 0 （3）写出切线的标准方程 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x y y z z t t t （4）写出法平面的法式方程 0 0 0 0 0 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 t x x t y y t z z 例 1：求空间曲线 : 2 3 x t y t z t 在点 M(1,1,1) 的切线方程及法平面方程 解：显然当空间曲线 过点 M(1,1,1)时 0 t 1 又 2 x y t z t 1, 2 , 3 所以 0 0 0 x y z t t t 1 1 1 1, 2, 3 因此切线的方向向量 s 1,2,3 故切线方程 1 1 1 1 2 3 x y z 法平面的法式方程 1 ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 0 x y z 即 x y z 2 3 6 0 0
二、空间曲面的切平面与法线 如果曲面Σ：F(x,y,)=0上过点 M(x,y%,二o)的任意曲线有切线 那么这些切线的位置关系如何？ 在曲面Σ：F(x,y,)=0上过点 由于曲线T在曲面Σ：F(xy,)=0上，所以 x=o(t) M(x,%,o)任意引一条曲线Γ y=v(t) F[pt),(t),ot)]=0 三=o(t) 曲线厂的过点M的切线的方向向量 F:(Xo2 Yo,o)'(to)+Fy(xo2 Yo2 o)w(to) s=(p'(t),w'(t),o'(t) +F(Xo2 Yo2o)@'(to)=O 若令方=(F(xoo,o),F(xy,20)F(xoyo,2o),则7⊥5 这个平面叫做 即曲面∑上过点M的任意曲线的切线共面 曲面的切平面
二、空间曲面的切平面与法线 如果曲面 : ( , , ) 0 F x y z 上过点 0 0 0 M x y z ( , , ) 的任意曲线有切线 那么这些切线的位置关系如何？ 在曲面 : ( , , ) 0 F x y z 上过点 0 0 0 M x y z ( , , )任意引一条曲线 ( ) ( ) ( ) x t y t z t 曲线 的过点M 的切线的方向向量 s t t t ( ), ( ), ( ) 0 0 0 由于曲线 在曲面 : ( , , ) 0 F x y z 上，所以 F t t t [ ( ), ( ), ( )] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) 0 x y z F x y z t F x y z t F x y z t 若令n F x y z F x y z F x y z x y z ( , , ), ( , , ), ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，则 n s 即曲面 上过点 M 的任意曲线的切线共面 这个平面叫做 曲面的切平面
空间曲面的切平面与法线 定理2(1)M(x,%,o)是曲面∑：F(x,y,z)=0上一点 （2)函数F(x,y,z)在点M(x,,2)处具有连续的偏导数，且偏导数不同时为零 则曲面上过Mx,%,)切平面的方程为 F(x,y0,20)x-x)+Fy(x,0,20)y-)+F(x,0,20)(z-20)=0 曲面上过M(x)法线方程为 过点M与切平面垂 X-Xo y-yo Z-Zo 直的直线称为 F(xo,o,2o)F(x0,%,20) F(xo2 Yo,Zo) 曲面的法线。 注记2：曲面Σ：z=f(x,y)上过M(,,)切平面的方程为 2-2=F(x0,%,20x-x)+F(x0,0,30y-%) 曲面Σ：z=(x,)上过M(x,,)法线的方程为 x-Xo y-yo z一20 F(xo,y%,20) F(xo,6,20)
定理 2（1） 0 0 0 M x y z ( , , )是曲面 : ( , , ) 0 F x y z 上一点 （2）函数F x y z ( , , )在点 0 0 0 M x y z ( , , )处具有连续的偏导数，且偏导数不同时为零 则 曲面上过 0 0 0 M x y z ( , , )切平面的方程为 二、空间曲面的切平面与法线 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z x x F x y z y y F x y z z z x y z ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 曲面上过 0 0 0 M x y z ( , , )法线方程为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z 过点 M 与切平面垂 直的直线称为 曲面的法线. 注记 2：曲面 : ( , ) z f x y 上过 0 0 0 M x y z ( , , )切平面的方程为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , )( ) ( , , )( ) x y z z F x y z x x F x y z y y 曲面 : ( , ) z f x y 上过 0 0 0 M x y z ( , , )法线的方程为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y ( , , ) ( , , ) 1 x x y y z z F x y z F x y z
二、空间曲面的切平面与法线 求空间曲面切平面及法线方程的一般步骤 例2求球面x2+y2+z2=14在点(1,2,3)的切 (1)确定F(x,y,z)=0求出偏导数 平面及法线方程 EEE 解：（1)设F(x,y)=x2+y2+22-14 （2)写出切平面的法向量 （2)显然F'(x,八，)=2x,E(x,y,)=2y,F'(x,yz)=2z n-（F(x0,2o),F(xo%,o),F(xo,o,20) 因此 F'(1,2,3)=2,F'(1,2,3)=4,F(1,2,3)=6 (3)写出切平面的法式方程 (3)x2+y2+z2=14在点L,2,3)的切平面 F(Xo2Yo2=o)(x-Xo)+F"(Xo2 Yo2=o)(y-o) 2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0 +F(x,%,20)2-20)=0 整理可得 x+2y+3z-14=0 (4)写出法线方程 (4)x2+y2+2=14在点1,2,3)的法线方程为 x-xo y-vo 2-20 F(xo2 Yo:o)F(xo:Yo,Zo)F(xo2 Yo,Zo) x-1=y-2=2-3 4 6 必做题：习题8-61,2,3,4 选做题：习题8-6 5,6,7
求空间曲面切平面及法线方程的一般步骤 （1）确定 F x y z ( , , ) 0 求出偏导数 , , F F F x y z （2）写出切平面的法向量 n F x y z F x y z F x y z x y z ( , , ), ( , , ), ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （3）写出切平面的法式方程 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , )( ) ( , , )( ) F x y z x x F x y z y y x y 0 0 0 0 F x y z z z z ( , , )( ) 0 （4）写出法线方程 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z 例 2 求球面 2 2 2 x y z 14在点(1,2,3)的切 平面及法线方程 解：（1）设 2 2 2 F x y z x y z ( , , ) 14 （2）显然 ( , , ) 2 , ( , , ) 2 , ( , , ) 2 F x y z x F x y z y F x y z z x y z 因此 F F F x y z (1,2,3) 2, (1,2,3) 4, (1,2,3) 6 （3） 2 2 2 x y z 14在点(1,2,3)的切平面 2( 1) 4( 2) 6( 3) 0 x y z 整理可得 x y z 2 3 14 0 （4） 2 2 2 x y z 14在点(1,2,3)的法线方程为 1 2 3 2 4 6 x y z 二、空间曲面的切平面与法线 必做题：习题 8-6 1，2，3，4 选做题：习题 8-6 5，6，7