§7.5 空间直线及其方程 空间曲线 空间直线方 空间直线与平 空间直线与空 程 面的夹角 间直线的夹角 Oeo①0⊙8
机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线 空间直线方 程 空间直线与平 面的夹角 空间直线与空 间直线的夹角 §7.5 空间直线及其方程
一、 空间曲线方程 空间曲线在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹， 设曲面S:F(x,y,)=0与曲面S2:G(x,y,)=0相交于曲线C.则 ①曲线C上的任意点的坐标满足方程组 F(x,v,=)=0, (2) G(x,y,z)=0 ②满足方程组(2)的点都在曲线0 称方程组(2)为空间曲线C的一般方程，称曲线C为方程组(2)的图形 注记：空间直线L总可以看作是两平面的交线，因此求空间直线的方程 关键是找出过该直线的两平面的方程
一、空间曲线方程 空间曲线在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 设曲面S:1 F x y z , , 0 与曲面S:2 G , , 0 x y z 相交于曲线C .则 ①曲线C 上的任意点的坐标满足方程组 , , 0, G , , 0 F x y z x y z （2） ②满足方程组（2）的点都在曲线 C 称方程组（2）为空间曲线C 的一般方程，称曲线C 为方程组（2）的图形. 注记 1：空间直线 L总可以看作是两平面的交线，因此求空间直线的方程 关键是找出过该直线的两平面的方程
二、空间直线的一般方程 设空间直线L为两平面 Ax+By+Cz+D=0 (1) Ax+B2y+C2z+D=0 Π1：Ax+By+C1z+D=0 称方程组(1)为直线L的一般方程 Π2：A2x+B2y+Cz+D,=0 注记2：x,y,z轴的一般方程分别为 的交线，则L与方程组（1)满足 z -O 1)L上的任意一点的坐标必 =0 满足方程组（1) 1z=0 2)满足方程组（1)的任意点 x=0 y=0 都在L上
二、空间直线的一般方程 1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : 2 2 2 2 A x B y C z D 0 设空间直线 L 为两平面 的交线，则 L 与方程组（1）满足 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D （1） 1） L 上的任意一点的坐标必 满足方程组（1） 2）满足方程组（1）的任意点 称方程组（1）为直线 L 的一般方程 注记 2： x y z , , 轴的一般方程分别为 0 0 y z 0 0 x z 0 0 x y 都在 L 上
二、空间直线的一般方程 注记3：过直线 分析：投影直线既在平面Ⅱ上，也在过直线 Ax+By+Cz+D=0 L且与平面Π垂直的平面Π'上 42x+B2y+C2z+D2=0 解：过直线L且与Ⅱ垂直的平面'方程为 的平面方程为 1(x+y-2-1)+m(x-y+z+1)=0,(1) (4x+By+Cz+D)+ 即为(0+m)x+(0-my+(-1+m)z+(+m=0 +m(A2x+B2y+C22+D2)=0 由于平面'与平面Π垂直 其中实数1，m不同时为零 所以(l+m)1+(-m)1+(-l+m)-1=0. 例1求直线L: x+y-z-1=0 x-y+2+1=0 在平面 由此得1：m=1:(-1) 平面Π方程为2y-2z-2=0, :x+y+z=0上投影直线的方程 y-z-1=0 所以投影直线方程为 x+y+z=0
二、空间直线的一般方程 注记 3：过直线 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 的平面方程为 l A x B y C z D 1 1 1 1 m A x B y C z D 2 2 2 2 0 其中 实数l m, 不同时为零. 例 1 求直线 1 0 : 1 0 x y z L x y z 在平面 : 0 x y z 上投影直线的方程 解：过直线 L 且与 垂直的平面方程为 l x y z m x y z ( 1) ( 1) 0, (1) 即为 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 l m x l m y l m z l m 由于平面与平面 垂直 所以 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 0. l m l m l m 由此得 l m: 1:( 1) . 平面方程为 2 2 2 0, y z 所以投影直线方程为 1 0 0 y z x y z 分析：投影直线既在平面 上，也在过直线 L 且与平面 垂直的平面上
三、空间直线的点向式及参数方程 在空间给定了一点M,和一个非零向量了，那么通过M,且与 3≠0 向量平行的直线惟一 我们把与直线平行的非零向量叫做直线的方向向量. 点M在直线L上的充要条件是 设直线L过M(x,,20) x-x0=y-%=2-0 (2) 方向向量为S=(m,n,p) m n o D 直线L的 约定：分母为零 点向式方程 时分子也为零 点M在直线L上的充要条件是 点M在直线L上的充要条件是 MM与共线 MM与的坐标成比例
三、空间直线的点向式及参数方程 在空间给定了一点M0 和一个非零向量 s ，那么通过M0 且与 向量 s 平行的直线惟一. 我们把与直线平行的非零向量叫做直线的方向向量. s 0 L 我们称方程（2）为直线 L 的点向式方程 设直线 L 过 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 方向向量为 s m n p ( , , ) 点M 在直线 L 上的充要条件是 M M0 与s 共线 点M 在直线 L 上的充要条件是 M M0 与s 的坐标成比例 点 M 在直线 L 上的充要条件是 0 0 0 x x y y z z m n p （2） 直线 L 的 点向式方程 约定：分母为零 时分子也为零
课堂训练1一 判断正误 (1)过点M,(x,,),M2(x22,2)的直线的方向向量可取为 5=(x2-x,2-,32-31) 2)与直线”，-}-平行的的直线的方向向量可取为5=(2,1-) 21-5 (3)与平面Ax+By+Cz+D=0垂直的的直线的方向向量可取为3=（A,B,C) 直线的方向向量可取为3=m, m, (4) 直线 Ax+By+C2+D=0的方向向量5=元×元= A B C A2x+B2y+C2+D2=0 B, C
（1）过点 1 1 1 1 2 2 2 2 M x y z M x y z ( , , ), ( , , ) 的直线的方向向量可取为 s x x y y z z 2 1 2 1 2 1 , , （2）与直线 3 1 2 1 5 x y z 平行的的直线的方向向量可取为s 2,1, 5 （3）与平面 Ax By Cz D 0垂直的的直线的方向向量可取为s A B C , , 直线的方向向量可取为 1 1 1 2 2 2 i j k s m n p m n p 课堂训练1——判断正误 （4） 直线 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 的方向向量 1 2 1 1 1 2 2 2 i j k s n n A B C A B C
二、至旧自线的泉可及参双万程 例2：求与平面x-4z=3和 注记3；求直线点向式方程的步骤 2x-y-5z=1的交线 (1)确定直线上的一个已知点 平行且过点(-3,2,5)的直线方程 解设直线的方向向量为5，两平面 (2)确定直线的方向向量5 的法向量分别为i,i2 (3)代入点向式方程 则5⊥万，5⊥方2因此5‖方，×万， 思考题： 故取 （1)如何求出下列直线上的一个已知点？ s=元1×i2= 1 0 -4 =(4,3,1)》 x+y+z+2=0 2 -1 -5 2x-y+3z+10=0 因此所求直线的方程为 (2)如何确定出该直线方向向量？ x+3 y-2 2-5 4 3 1
三、空间直线的点向式及参数方程 例 2： 求与平面 x z 4 3和 2 5 1 x y z 的交线 平行且过点( 3,2,5) 的直线方程 解 设直线的方向向量为 s ，两平面 的法向量分别为 1 2 n n, 则 1 2 s n s n , 因此 1 2 s n n 故取 1 2 1 0 4 (4,3,1) 2 1 5 i j k s n n 因此所求直线的方程为3 2 5 . 4 3 1 x y z 注记 3;求直线点向式方程的步骤 思考题： （1）如何求出下列直线上的一个已知点？ 2 3 10 0 2 0 x y z x y z (1)确定直线上的一个已知点 （2）确定直线的方向向量 s （3）代入点向式方程 （2）如何确定出该直线方向向量？
三、空间直线的点向式及参数方程 令 X-x=y-必=2-0=t 例3求直线=2y-3-二4与平面 m n 1 p 1 x=xo+mt 2x+y+2-6=0的交点. 则 y=yo+nt (3) 解所给直线的参数方程为 Z=Zo+pt x=2+t y=3+t 其中，t为参数，-0<t<+o∞ z=4+2t 称方程(3)为直线L的参数方程 代入平面方程中，得t=-1. 把t=-1代入直线的参数方程中得 注记4：求直线与平面交点时 x=1,y=2,z=2. 常用直线的参数方程 即得到所求交点坐标为（1,2,2)
三、空间直线的点向式及参数方程 令 0 0 0 x x y y z z t m n p 则 0 0 0 x x mt y y nt z z pt （3） 常用直线的参数方程 其中，t 为参数， t 称方程（3）为直线 L 的参数方程 注记 4： 求直线与平面交点时 例 3 求直线 2 3 4 112 x y z 与平面 2 6 0 x y z 的交点. 解 所给直线的参数方程为 2 3 4 2 x t y t z t 代入平面方程中，得 把t 1代入直线的参数方程中得 x y z 1, 2, 2. 即得到所求交点坐标为（1,2,2） t 1
三、空间两直线的夹角及特殊位置的判定 两直线的夹角：两直线的方向向量的夹角（通常是锐角） 设直线L,L2方向向量 mmz+nn+p p2 cos= 3=(,h,P) m2+n2+pm2+n2+pa 32=(m2,n2,p2) 两直线的夹角p是 cosp=cos∠(1，S2) ∠（⑤，32）或π-∠（⑤，2） 中锐角
三、空间两直线的夹角及特殊位置的判定 因此 4 . 两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常是锐角） 设直线 1 2 L L, 方向向量 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ) ( , , ) s m n p s m n p 两直线的夹角 是 1 2 1 2 ( , ) ( , ) s s s s 或 中锐角 1 2 1 2 1 2 cos cos ) ( , s s s s s s 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos m m n n p p m n p m n p
三、空间两直线的夹角及特殊位置的判定 注记5直线L与L,垂直充要条件。 例4：求L: x-1-y-2+3 1-41 mm +nn+pip2 =0. 和1：三号号的夹角 直线L与L,垂直平行或重合充要条件. 解：显然两直线的方向向量分别为 =h=凸 =(1,-4,1),52=(2,-2,-1) m n P2 从而 c0sp=cos∠（⑤，52 注记6求两直线夹角的步骤 1×2+(-4)×(-2)+1×(-1) 第一步：确定两直线的方向向量，寸， V+(-4)2+12V22+(-2)2+(-102 第二步：求cosp=cos∠（⑤，2） 第三步：求p 因此
三、空间两直线的夹角及特殊位置的判定 因此 4 . 注记 5 直线L1 与L2 垂直充要条件. 1 2 1 2 1 2 m m n n p p 0 . 直线L1 与L2 垂直平行或重合充要条件. 1 1 1 2 2 2 m n p m n p . 注记 6 求两直线夹角的步骤 第一步：确定两直线的方向向量 1 2 s s, 第二步：求 1 2 c s cos o ) (s s, 第三步：求 例 4：求 L1 ： 1 3 1 4 1 x y z 和 L2 ： 2 2 2 1 x y z 的夹角 解：显然两直线的方向向量分别为 s1 1, 4,1 , s2 2, 2, 1 从而 1 2 c s cos o ) (s s, 2 2 2 2 2 2 1 2 ( 4) ( 2) 1 ( 1) 1 ( 4) 1 2 ( 2) ( 1) 2 2 因此 4