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南阳师范学院:《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第七章 向量代数与空间解析几何 §7.5 空间直线及其方程

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§7.5 空间直线及其方程 空间曲线 空间直线方 空间直线与平 空间直线与空 程 面的夹角 间直线的夹角 Oeo①0⊙8

机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线 空间直线方 程 空间直线与平 面的夹角 空间直线与空 间直线的夹角 §7.5 空间直线及其方程

一、 空间曲线方程 空间曲线在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹, 设曲面S:F(x,y,)=0与曲面S2:G(x,y,)=0相交于曲线C.则 ①曲线C上的任意点的坐标满足方程组 F(x,v,=)=0, (2) G(x,y,z)=0 ②满足方程组(2)的点都在曲线0 称方程组(2)为空间曲线C的一般方程,称曲线C为方程组(2)的图形 注记:空间直线L总可以看作是两平面的交线,因此求空间直线的方程 关键是找出过该直线的两平面的方程

一、空间曲线方程 空间曲线在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 设曲面S:1 F x y z  , , 0   与曲面S:2 G , , 0  x y z  相交于曲线C .则 ①曲线C 上的任意点的坐标满足方程组     , , 0, G , , 0 F x y z x y z       (2) ②满足方程组(2)的点都在曲线 C 称方程组(2)为空间曲线C 的一般方程,称曲线C 为方程组(2)的图形. 注记 1:空间直线 L总可以看作是两平面的交线,因此求空间直线的方程 关键是找出过该直线的两平面的方程

二、空间直线的一般方程 设空间直线L为两平面 Ax+By+Cz+D=0 (1) Ax+B2y+C2z+D=0 Π1:Ax+By+C1z+D=0 称方程组(1)为直线L的一般方程 Π2:A2x+B2y+Cz+D,=0 注记2:x,y,z轴的一般方程分别为 的交线,则L与方程组(1)满足 z -O 1)L上的任意一点的坐标必 =0 满足方程组(1) 1z=0 2)满足方程组(1)的任意点 x=0 y=0 都在L上

二、空间直线的一般方程 1 : A1 x  B1 y C1 z  D1  0 2 : 2 2 2 2 A x B y C z D     0 设空间直线 L 为两平面 的交线,则 L 与方程组(1)满足 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D            (1) 1) L 上的任意一点的坐标必 满足方程组(1) 2)满足方程组(1)的任意点 称方程组(1)为直线 L 的一般方程 注记 2: x y z , , 轴的一般方程分别为 0 0 y z      0 0 x z      0 0 x y      都在 L 上

二、空间直线的一般方程 注记3:过直线 分析:投影直线既在平面Ⅱ上,也在过直线 Ax+By+Cz+D=0 L且与平面Π垂直的平面Π'上 42x+B2y+C2z+D2=0 解:过直线L且与Ⅱ垂直的平面'方程为 的平面方程为 1(x+y-2-1)+m(x-y+z+1)=0,(1) (4x+By+Cz+D)+ 即为(0+m)x+(0-my+(-1+m)z+(+m=0 +m(A2x+B2y+C22+D2)=0 由于平面'与平面Π垂直 其中实数1,m不同时为零 所以(l+m)1+(-m)1+(-l+m)-1=0. 例1求直线L: x+y-z-1=0 x-y+2+1=0 在平面 由此得1:m=1:(-1) 平面Π方程为2y-2z-2=0, :x+y+z=0上投影直线的方程 y-z-1=0 所以投影直线方程为 x+y+z=0

二、空间直线的一般方程 注记 3:过直线            0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 的平面方程为 l A x B y C z D  1 1 1 1          m A x B y C z D  2 2 2 2  0 其中 实数l m, 不同时为零. 例 1 求直线 1 0 : 1 0 x y z L x y z            在平面     : 0 x y z 上投影直线的方程 解:过直线 L 且与 垂直的平面方程为 l x y z m x y z ( 1) ( 1) 0, (1)         即为 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 l m x l m y l m z l m           由于平面与平面 垂直 所以 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 0. l m l m l m           由此得 l m: 1:( 1) .   平面方程为 2 2 2 0, y z    所以投影直线方程为 1 0 0 y z x y z          分析:投影直线既在平面 上,也在过直线 L 且与平面 垂直的平面上

三、空间直线的点向式及参数方程 在空间给定了一点M,和一个非零向量了,那么通过M,且与 3≠0 向量平行的直线惟一 我们把与直线平行的非零向量叫做直线的方向向量. 点M在直线L上的充要条件是 设直线L过M(x,,20) x-x0=y-%=2-0 (2) 方向向量为S=(m,n,p) m n o D 直线L的 约定:分母为零 点向式方程 时分子也为零 点M在直线L上的充要条件是 点M在直线L上的充要条件是 MM与共线 MM与的坐标成比例

三、空间直线的点向式及参数方程 在空间给定了一点M0 和一个非零向量 s ,那么通过M0 且与 向量 s 平行的直线惟一. 我们把与直线平行的非零向量叫做直线的方向向量. s  0 L 我们称方程(2)为直线 L 的点向式方程 设直线 L 过 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 方向向量为 s m n p  ( , , ) 点M 在直线 L 上的充要条件是 M M0 与s 共线 点M 在直线 L 上的充要条件是 M M0 与s 的坐标成比例 点 M 在直线 L 上的充要条件是 0 0 0 x x y y z z m n p      (2) 直线 L 的 点向式方程 约定:分母为零 时分子也为零

课堂训练1一 判断正误 (1)过点M,(x,,),M2(x22,2)的直线的方向向量可取为 5=(x2-x,2-,32-31) 2)与直线”,-}-平行的的直线的方向向量可取为5=(2,1-) 21-5 (3)与平面Ax+By+Cz+D=0垂直的的直线的方向向量可取为3=(A,B,C) 直线的方向向量可取为3=m, m, (4) 直线 Ax+By+C2+D=0的方向向量5=元×元= A B C A2x+B2y+C2+D2=0 B, C

(1)过点 1 1 1 1 2 2 2 2 M x y z M x y z ( , , ), ( , , ) 的直线的方向向量可取为 s x x y y z z      2 1 2 1 2 1 , ,  (2)与直线 3 1 2 1 5 x y z      平行的的直线的方向向量可取为s   2,1, 5 (3)与平面 Ax By Cz D     0垂直的的直线的方向向量可取为s A B C   , ,  直线的方向向量可取为 1 1 1 2 2 2 i j k s m n p m n p  课堂训练1——判断正误 (4) 直线            0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 的方向向量 1 2 1 1 1 2 2 2 i j k s n n A B C A B C   

二、至旧自线的泉可及参双万程 例2:求与平面x-4z=3和 注记3;求直线点向式方程的步骤 2x-y-5z=1的交线 (1)确定直线上的一个已知点 平行且过点(-3,2,5)的直线方程 解设直线的方向向量为5,两平面 (2)确定直线的方向向量5 的法向量分别为i,i2 (3)代入点向式方程 则5⊥万,5⊥方2因此5‖方,×万, 思考题: 故取 (1)如何求出下列直线上的一个已知点? s=元1×i2= 1 0 -4 =(4,3,1)》 x+y+z+2=0 2 -1 -5 2x-y+3z+10=0 因此所求直线的方程为 (2)如何确定出该直线方向向量? x+3 y-2 2-5 4 3 1

三、空间直线的点向式及参数方程 例 2: 求与平面 x z   4 3和 2 5 1 x y z    的交线 平行且过点( 3,2,5)  的直线方程 解 设直线的方向向量为 s ,两平面 的法向量分别为 1 2 n n, 则 1 2 s n s n   , 因此 1 2 s n n  故取 1 2 1 0 4 (4,3,1) 2 1 5 i j k s n n        因此所求直线的方程为3 2 5 . 4 3 1 x y z      注记 3;求直线点向式方程的步骤 思考题: (1)如何求出下列直线上的一个已知点?            2 3 10 0 2 0 x y z x y z (1)确定直线上的一个已知点 (2)确定直线的方向向量 s (3)代入点向式方程 (2)如何确定出该直线方向向量?

三、空间直线的点向式及参数方程 令 X-x=y-必=2-0=t 例3求直线=2y-3-二4与平面 m n 1 p 1 x=xo+mt 2x+y+2-6=0的交点. 则 y=yo+nt (3) 解所给直线的参数方程为 Z=Zo+pt x=2+t y=3+t 其中,t为参数,-0<t<+o∞ z=4+2t 称方程(3)为直线L的参数方程 代入平面方程中,得t=-1. 把t=-1代入直线的参数方程中得 注记4:求直线与平面交点时 x=1,y=2,z=2. 常用直线的参数方程 即得到所求交点坐标为(1,2,2)

三、空间直线的点向式及参数方程 令 0 0 0 x x y y z z t m n p       则 0 0 0 x x mt y y nt z z pt            (3) 常用直线的参数方程 其中,t 为参数,    t 称方程(3)为直线 L 的参数方程 注记 4: 求直线与平面交点时 例 3 求直线 2 3 4 112 x y z      与平面 2 6 0 x y z     的交点. 解 所给直线的参数方程为 2 3 4 2 x t y t z t            代入平面方程中,得 把t  1代入直线的参数方程中得 x y z    1, 2, 2. 即得到所求交点坐标为(1,2,2) t  1

三、空间两直线的夹角及特殊位置的判定 两直线的夹角:两直线的方向向量的夹角(通常是锐角) 设直线L,L2方向向量 mmz+nn+p p2 cos= 3=(,h,P) m2+n2+pm2+n2+pa 32=(m2,n2,p2) 两直线的夹角p是 cosp=cos∠(1,S2) ∠(⑤,32)或π-∠(⑤,2) 中锐角

三、空间两直线的夹角及特殊位置的判定 因此 4    . 两直线的夹角: 两直线的方向向量的夹角(通常是锐角) 设直线 1 2 L L, 方向向量 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ) ( , , ) s m n p s m n p   两直线的夹角 是 1 2 1 2   ( , ) ( , ) s s s s 或 中锐角 1 2 1 2 1 2 cos cos ) ( , s s s s s s      1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos m m n n p p m n p m n p        

三、空间两直线的夹角及特殊位置的判定 注记5直线L与L,垂直充要条件。 例4:求L: x-1-y-2+3 1-41 mm +nn+pip2 =0. 和1:三号号的夹角 直线L与L,垂直平行或重合充要条件. 解:显然两直线的方向向量分别为 =h=凸 =(1,-4,1),52=(2,-2,-1) m n P2 从而 c0sp=cos∠(⑤,52 注记6求两直线夹角的步骤 1×2+(-4)×(-2)+1×(-1) 第一步:确定两直线的方向向量,寸, V+(-4)2+12V22+(-2)2+(-102 第二步:求cosp=cos∠(⑤,2) 第三步:求p 因此

三、空间两直线的夹角及特殊位置的判定 因此 4    . 注记 5 直线L1 与L2 垂直充要条件. 1 2 1 2 1 2 m m n n p p    0 . 直线L1 与L2 垂直平行或重合充要条件. 1 1 1 2 2 2 m n p m n p   . 注记 6 求两直线夹角的步骤 第一步:确定两直线的方向向量 1 2 s s, 第二步:求 1 2 c s cos o )   (s s, 第三步:求 例 4:求 L1 : 1 3 1 4 1 x y z      和 L2 : 2 2 2 1 x y z      的夹角 解:显然两直线的方向向量分别为 s1   1, 4,1 , s2    2, 2, 1 从而 1 2 c s cos o )   (s s, 2 2 2 2 2 2 1 2 ( 4) ( 2) 1 ( 1) 1 ( 4) 1 2 ( 2) ( 1)                 2 2  因此 4   

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