第四章 不定积分 主要内容： 一、不定积分的概念与性质 二、换元积分法 三、分部积分法 四、有理函数的积分 五、积分表的使用
第四章 不定积分 一、不定积分的概念与性质 二、换元积分 法 三、分部积分法 四、有理函数的积分 五、积分表的使用 主要内容 ：
§4.1不定积分的概念与性质 不定积分的概念 原函数的概念 不定积分 主要内容 的性质 基本积分表 不定积分的 基本求法
§4.1 不定积分的概念与性质 主要内容 不定积分的概念 原函数的概念 基本积分表 不定积分 的性质 不定积分的 基本求法
一、原函数与不定积分的概念 1.原函数 (1)定义：如果对任意的x∈1，都有 F(x)=f(x)(dF(x)=f(x)dx) 则称函数F(x)是f(x)（或f'(x)d)区间I上的一个原函数. 原函数必需 可导 anti-derivative
（1）定义：如果对任意的x I ∈ ，都有 F′() () x fx = （或dF x f x dx () () = ′ ） 则称函数 F(x)是 f ( ) x （或 f x dx ′( ) ）区间 I 上的一个原函数. 1. 原函数 一、原函数与不定积分的概念 anti-derivative 原函数必需 可导
一、原函数与不定积分的概念 例1.下列函数中可以作为某些函数在(-0，+∞)上的原函数的是() A:F(x)= B:F(x)=x3 x'sin- x≠0 C:F(x)=sgnx D:F(x)= 0, x=0 (sin- E:F(x)=sinx x≠0 F: F(x 0. x=0
一、原函数与不定积分的概念 例 1. 下列函数中可以作为某些函数在(,) −∞ +∞ 上的原函数的是（ ） A： Fx x ( ) = B： 2 3 Fx x ( ) = C： F( ) sgn x x = D： 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x F x x x ⎧ ⎪ ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ = E： Fx x ( ) sin = F： 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x F x x x ⎧ ⎪ ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ =
一、原函数与不定积分的概念 (2)原函数的性质 定理1：如果函数f(x)在区间1上连续，那么在区间1上存在可导函数F(x)使得 F(x)=f(x), 即连续函数一定有原函数 注记1：初等函数在定义区间上一定有原函数
（2）原函数的性质 定理 1：如果函数 f x( )在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数F x( )使得 F′() () x fx = ， x I ∈ 即连续函数一定有原函数 一、原函数与不定积分的概念 注记1：初等函数在定义区间上一定有原函数
一、原函数与不定积分的概念 (2)原函数的性质 定理2：如果F(x)是的f(x)原函数，则有： ①对任意的常数C,F(x)+C也是f(x)的原函数： ②f(x)的任意两个原函数最多只相差一个常数
（2）原函数的性质 一、原函数与不定积分的概念 定理 2：如果F x( )是的 f x( )原函数，则有： ①对任意的常数C ，Fx C ( ) + 也是 f x( )的原函数； ② f ( ) x 的任意两个原函数最多只相差一个常数
一、原函数与不定积分的概念 证明：①由于F(x)是的f(x)原函数 证明：②由于F(x),G(x)是f(x)的两个原函数 定义 定义 F'(x)=f(x) F'(x)=f(x), G'(x)=f(x) 亚 (F(x)+C)'=F'(x)+C'-F'(x)=f(x) [F(x)-G(x)了=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0 定义 拉格朗日中值 定理的推论 对任意的常数C F(x)-G(x)=C F(x)+C也是f(x)的原函数 (C是任意的常数) 注记2：如果F(x)是的f(x)原函数，则fx)的所有的原函数 可以用F(x)+C(C是任意的常数)表示
证明：①由于F x( )是的 f ( ) x 原函数 ( ) Fx C F x C F x fx () () () () ′ + = += = ′ ′′ 对任意的常数C Fx C ( ) + 也是 f ( ) x 的原函数 一、原函数与不定积分的概念 Fx fx ′() () = 定义 定义 证明：②由于F( ), ( ) x Gx 是 f ( ) x 的两个原函数 定义 Fx fx Gx fx ′( ) ( ), ( ) ( ) = = ′ [ ] Fx Gx F x G x f x f x () () () () () () 0 ′ − = − =−= ′ ′ 拉格朗日中值 定理的推论 F() () x Gx C − = (C 是任意的常数) 注记 2：如果F x( )是的 f ( ) x 原函数，则 f ( ) x 的所有的原函数 可以用F( ) x C+ （C 是任意的常数）表示
一、原函数与不定积分的概念 2. 不定积分 (1)定义：对任意的x∈1，若F'(x)=f(x),则f(x)所有的原函数 F(x)+C (C是任意的常数) 称为f(x)(或f"x))在区间1上的不定积分.记为「f(x)d, 即： ∫fx)dk=F(x)+C (求不定积分的运算，就是求导数运算的逆运算)
2. 不定积分 （1）定义：对任意的x I ∈ ，若 F′() () x fx = ，则 f ( ) x 所有的原函数 一、原函数与不定积分的概念 F( ) x C+ （C 是任意的常数） 称为 f ( ) x （或 f ′( ) x dx）在区间I 上的不定积分. 记为∫ f (x)dx ， 即： f x dx F x C () = () + ∫ （求不定积分的运算，就是求导数运算的逆运算）
一、原函数与不定积分的概念 积分号 f(x)-一被积函数， fx)d-一被积表达式， x-一积分变量， F(x)+C 被 积 原 积 积表达 分 分号 函 函 数 常数项 量
积 分 号 被 积 函 数 项 数 常 ∀ ∫ f (x)dx 积 分 变 量 = F(x) + C 原 函 数 ∫ -----积分号. 一、原函数与不定积分的概念 被 积 表 达 式 f ( ) x ---被积函数， f ( ) x dx --被积表达式， x --积分变量
一、 原函数与不定积分的概念 ∫2.xdx=( ）A:x2+1B:x2-1 C:x2 D:x2+C 例2设曲线通过点(1,2)且其上任一点出得切线斜率等于这点横坐标的两倍，求 曲线的方程 解：(1)设曲线y=fx),则y=f'(x)=2x,故fx)是2x的一个原函数 (2)因为2x的任意原函数为∫2xdk=x2+C所以必有某个常数C使 fx)=x2+C即曲线方程为y=x2+C (3)因所求曲线通过点(1,2)故2=P+C,从而C=1.于是所求曲线方程为y=x2+1
一、原函数与不定积分的概念 例 2 设曲线通过点(1, 2)且其上任一点出得切线斜率等于这点横坐标的两倍，求 曲线的方程 解：（1）设曲线 y f = ( ) x ，则 y f ′ = ′() 2 x x = ，故 f ( ) x 是 2 x的一个原函数 （2）因为 2 x的任意原函数为 ∫ xdx = x + C 2 2 所以必有某个常数 C 使 2 f ( ) xxC = + 即曲线方程为 2 yx C = + 于是所求曲线方程为 2 y x = +1 2 () x x = ∫ d 2 A x : 1 + 2 B x : 1− 2 C x : 2 D : x C+ （3）因所求曲线通过点(1,2) 故 2 2 1 = + C ，从而 C =1
