第六节Gauss型求积公式 问题的提出 二、 Gauss型求积公式的构造 三、常用的Gauss型求积公式 四、Gauss型求积公式的余项
第六节 Gauss型求积公式 一、问题的提出 三、 常用的Gauss型求积公式 二、 Gauss型求积公式的构造 四、 Gauss型求积公式的余项
一、问题的提出 为了一般性，考虑积分 1="p(x)f(x)dx (6.1) 其中，p(x)为权函数，当P(x)=1时，即为普通积 分。对任何普通积分g(x)k，都可写成 Jpx)8 P(x 从而都可化成(3.1)形式的积分。 对于(3.1)中的fx),用个不等距节点x,x,…,xm 作插值，则可得到 pr)本AG) (6.2)
一、问题的提出 为了一般性，考虑积分 ( ) ( ) b a I x f x dx = （6.1) 何普通积分 ，都可写成 其中， 为权函数，当 时，即为普通积 分。对任 ( ) x ( ) 1 x = ( ) b a g x dx ( ) ( ) ( ) b a g x x dx x ( ) ( ) 1 ( ). n b k k a k x f x dx A f x = （6.2） n f x( ) 从而都可化成（3.1）形式的积分。 对于（3.1）中的 ，用 个不等距节点 作插值，则可得到 1 2 , , , n x x x
其中 0(x 4=p-x)(】 它不依赖于函数f(x),但可以依赖于权函数ρ(x由于代数精 度的次数是积分公式近似程度的一种量度，所以对于包含同 样节点数的积分公式，自然希望采用一种准确度次数比较高 的积分公式。因为这样可以用同等的代价，获得较高近似度 的计算结果。于是提出如下问题： 能否选择n个节点x,x2,xn和n个系数A,A2,,A。 使得求 积公式(6.2)具有尽可能高的代数精度？ 为了回答这个问题，先固定n值，并设(6.2)的代数精 度为m（待定)，即设(6.2)对所有的m次多项式 Pm (x)=amx"+amx"++ax+ao
其中 ( ) ( ) ( ) ( ) b n k a k n k x A x dx x x x = − 它不依赖于函数 ,但可以依赖于权函数 。由于代数精 度的次数是积分公式近似程度的一种量度，所以对于包含同 样节点数的积分公式，自然希望采用一种准确度次数比较高 的积分公式。因为这样可以用同等的代价，获得较高近似度 的计算结果。于是提出如下问题： f x( ) ( ) x ( ) 1 1 1 0 m m P x a x a x a x a m m m − = + + + + − 1 2 , , , 能否选择 个节点 和 个系数 A A An ，使得求 积公式（6.2）具有尽可能高的代数精度？ 1 2, , , n n x x x n 为了回答这个问题，先固定 值，并设（ n 6.2）的代数精 度为m（待定），即设（6.2）对所有的 m 次多项式 n
是准确的。于是有 P(迟.()k=∑4R() 即 axp()++a后xp()k+apk =A,(a+a++a+a） (6.3)》 ∫xp(x)k=4 则(6.3)成为
是准确的。于是有 ( ) ( ) ( ) 1 n b m k m k a k x P x dx A P x = = 即 ( ) 1 0 ( ) ( ) b b b m m a a a a x x dx a x x dx a x dx + + + 1 1 1 0 1 ( ) n m m k m k m k k k A a x a x a x a − − = = + + + + （6.3） 令 ( ) b i i a x x dx = 则（6.3）成为
am4m+…+a4+ao46= .24+4+…a24+a2（o.4 由于系数am,am-14,4是任意的，故使(6.4)成立的 充要条件是 A+A+…+A,=40 Ax+4x2+…+Axn=4 Ax+++A= (6.5) Axm+x2+nm=m
a a a m m + + + = 1 1 0 0 （6.4） 1 1 1 0 1 1 1 1 n n n n m m m k k m k k k k k k k k k a A x a A x a A x a A − − = = = = + + + + 由于系数 是任意的，故使（6.4）成立的 充要条件是 1 1 0 , , , , a a a a m m− 1 2 0 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n m m m n n m A A A A x A x A x A x A x A x A x A x A x + + + = + + + = + + + = + + + = （6.5）
这是一个具有2n个未知数，m+1个方程的方程组， 当m=2n-1时，方程组(6.5)是可解的。因此确实可以 找到一组x和4(k=1,2,…,n)使求积公式(6.2)的代数 精度从n-1次提高到2n-1次。 定义2若对于次数≤2n-1的多项式fx),关系式 p())k∑A4f) (6.6) 为恒等式，则称(6.6)为Gauss2型求积公式，相应节点 x,x,,xn称为Gauss型点。 显然，由方程组(6.5)就可以把Gauss型求积公式 的节点和系数求出来。但在一般情况下，要解这个方程 组是相当困难的，下面我们给出一种行之有效的方法
这是一个具有 2n 个未知数， m +1 个方程的方程组， m n = − 2 1k x 当 时，方程组（6.5）是可解的。因此确实可以 找到一组 和 使求积公式（6.2）的代数 精度从 次提高到 次。 ( 1,2, , ) A k n k = n −1 2 1 n − 定义2 若对于次数 − 2 1 n 的多项式 f x( ) ，关系式 ( ) ( ) ( ) 1 n b k k a k x f x dx A f x = （6.6） 为恒等式，则称（6.6）为Gauss型求积公式，相应节点 x x x 1 2 , , , n 称为Gauss型点。 显然，由方程组（6.5）就可以把Gauss型求积公式 的节点和系数求出来。但在一般情况下，要解这个方程 组是相当困难的，下面我们给出一种行之有效的方法
二、Gauss型求积公式的构造 先从一个简单例子入手 例4取p(x)=1,积分区间-1，为，求x,x和4,4使 f)≈A)+4/ (6.7) 对任何三次多项式f(x)=a,+ax+a,x2+a,x精确成立。 解：以(x-xx-x)除fx)得 f(x)=(B+Bx)(x-x)(x-x2)+(ao+ajx)=q(x)@2 (x)+r(x) 于是， ()本=g(@()+r()
二、 Gauss型求积公式的构造 先从一个简单例子入手 对任何三次多项式 f x a a x a x a x ( ) = + + + 0 1 2 3 2 3 精确成立。 解： 以 ( )( ) x x x x − − 1 2 除 f x( ) 得 f x x x x x x x q x x r x ( ) = + − − + + = + ( 0 1 1 2 0 1 1 2 1 )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 于是， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 f x dx q x x dx r x dx − − − = + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 f x dx A f x A f x − + （6.7） [ 1,1] − 1 2 例4 取 ( ) 1 x = ，积分区间 为，求 x x, 和 A A 1 2 , 使
由于 ()k=Ar(x)+4(s） 而 f(x)=q(x)D(x)+r(x)=r(x)k=1,2 从而有 ∫()本=Af()+4f(》 故要使 ∫，f()k=A/(s)+4f(x)
由于 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 r x dx A r x A r x − = + 而 f x q x x r x r x k ( k k k k k ) = + = = 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2 从而有 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 r x dx A f x A f x − = + 故要使 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 f x dx A f x A f x − = +
必须有 ()o,()在=0 (6.8〉 也就是说，当节点满足条件(6.8)时，能使(6.7)式精确成 立。 由于(x)是任意三次多项式，所以94是任意一次多 项式，据正交多项式的性质知，任意一个一次多项式都与二 次Legendrez多项式在[-l,]上带权正交，又因为o(x)是最高 次项系数为1的多项式，故(3.8)中的o,(x)应取为 a=c-x0-)产3-号ex-) x,x,就是二次Legendre多项式的根，即 X1=一X2=一
必须有 ( ) ( ) 1 1 2 1 q x x dx 0 − = （6.8） 也就是说，当节点满足条件（6.8）时，能使（6.7）式精 确成 立。 由于 是任意三次多项式 ， 所以 是任意一次多 项式，据正交多项式的性质知，任意一个一次多项式都与二 次Legendre多项式在 上带权正交，又因为 是最高 次项系数为1的多项式，故（3.8）中的 应取为 f x( ) 1 q [ 1,1] − 2 ( ) x 2 ( ) x ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 3 1 3 3 2 x x x x x P x x = − − = = − x x 1 2 , 就是二次Legendre多项式的根，即 1 2 1 3 x x = − = −
求出节点后，可利用求积公式(6.7)确定A,A,。为此， 取fx)=1,fx=x,则有 4+4==2 A杯+4x=」x边=0 解得 A=A,=1 故求积公式(3.7)变成 上恤人》
1 2 求出节点后，可利用求积公式（6.7）确定 A A, 。为此， 取 f x f x x ( ) 1, ( ) , = = 则有 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 0 A A dx A x A x xdx − − + = = + = = 解得 A A 1 2 = =1. 故求积公式（3.7）变成 ( ) 1 1 1 1 3 3 f x dx f f − − +