线性代数综合 练习题 (一)
线 性 代 数 综 合 练 习 题 （一）
填空题： 1、四阶方阵A的特征值 为1、2、3、4，则 a11+a22+a33+a44三 14= 2、设 73 0.0 3 1 0 A= 则A= 00 -2 0 01
一、填空题： 2、设 7 3 0 0 3 1 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 A = − 则 1 A − = ； ， 1、四阶方阵A的特征值 为1、2、3、4 ，则 A = ； a a a a 11 + + + = 22 33 44
3、设二次型 f=x2+2y2+322-29y-2xz+2yz, 则其秩为 4、向量组 a=(261,a=321,4=(001 线性相关，则入三 5、已知A是满秩矩阵，且 AB- 2 则B的秩为
3、设二次型 2 2 2 f x y z xy xz yz = + + − − + 2 3 2 2 2 , 则其秩为 ； 4、向量组 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 6 1 , 3 1 , 0 0 1 T T T = = = 线性相关，则 = ； 5、已知A是满秩矩阵，且 1 2 3 2 4 6 , 3 6 9 AB = 则B的秩为
选择题： l、设A为n阶可逆矩阵，A是 它的伴随矩阵，则A (@A:(b)4:(c)4(d04 2、设A、B均为n阶方阵，且满 足AB=0,则必有 (aA=0或B=0: (b)A+B=0: (c)A=O或B=0；(d)A+B=0 3、设A是三阶可逆矩阵，则24)等于 (a
二、选择题： 1、设A为n阶可逆矩阵， 是 它的伴随矩阵，则 * A * A = ； 1 1 ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) n n a A b A c A d A − − 2、设A、B均为n阶方阵，且满 足AB=0，则必有 ； ( ) 0 0; ( ) 0; ( ) 0 0 ; ( ) 0. a A B b A B c A B d A B = = + = = = + = 或 或 181 ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) 8 . 8 2 a b c d A A A A 3、设A是三阶可逆矩阵，则 (2 ) A −1 等于 ；
4、已知BB是非齐次线性方 程组AX=b的两个不同的解， 与是对应的齐次线性方程组 AX=b的基础解系，k与飞，为任意 常数，则方程组AX=b的通解 为 (a)k,+k2(a1+a2)+2(B-阝)； (b)kC1+k2(C1-x2)+2(B+B2方 (c)k&,+k(B+E)+(B-B方 (dka,+k(B-E)+2(B+P2);
4、已知 1 2 、 是非齐次线性方 程组AX=b的两个不同的解， 与 是对应的齐次线性方程组 AX=b的基础解系， 与 为任意 常数，则方程组AX=b的通解 为 ； 1 2 1 2 k k 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); a k k b k k c k k d k k + + + − + − + + + + + − + − + +
5、已知三阶实对称矩阵A的特 征值为1、2、3，且对应于1、2 的特征向量分别为(1,1,0)和 (2,-2,1),则对应于3的特征向 量为 (@(-11,0)(b)(0,1,-2):(c)1,1,4):(d0(-1,1,4) 三、解答下列各题 1、已知AX=B-2X,其中 I入 求X
5、已知三阶实对称矩阵A的特 征值为1、2、3，且对应于1、2 的特征向量分别为 和 (2, 2,1)T − (1,1,0)T ，则对应于3的特征向 量为 . 三、解答下列各题 1、已知AX=B-2X，其中 0 2 3 4 7 5 1 3 0 , 0 1 1 , 1 2 1 1 1 0 A B = − = − − 求 X . ( ) ( 1,1,0) ;( ) (0,1, 2) ;( ) (1,1,4) ;( ) ( 1,1,4) T T T T a b c d − − −
2、求矩阵 3 的秩及一个最大无关列向量组 3、设矩阵A与B相似，其中 2 求x,y的值
2、求矩阵 3 1 0 2 1 3 2 1 1 3 4 4 A = − − − 的秩及一个最大无关列向量组. 3、设矩阵A与B相似，其中 1 0 0 0 2 0 , 0 0 B y − = 求 x , y 的值. 2 0 0 2 2 , 3 1 1 A x − =
4、 设PB=AP,其中 2 0 求 四、问当取何值时，下面的方程组 x十x2+2x3+4x4=3 x-22+2x3-11x=入 3x1+x2+6x3+2x=3 有解？有解时求其通解
4、设PB=AP，其中 求 . 5 A 2 0 0 1 0 0 0 1 2 , 0 2 0 , 0 0 1 0 0 2 P B = = 四、 有解？有解时求其通解. 问当 取何值时，下面的方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 3 2 2 11 3 6 2 3 x x x x x x x x x x x x + + + = − + − = + + + =
五、设二次型 f=2+5+5元+4x52-4xx-8x3 1、试用矩阵形式表示： 2、用正交变换将其化为标准型， 并指出所用的正交变换 六、设 4=(4)3x3,且4=4(，方=1,2,3)， a3=-1,A=1,b=(0,0,1)7 求AX=b的解
五、设二次型 222 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x = + + + − − 2 5 5 4 4 8 1、试用矩阵形式表示； 2、用正交变换将其化为标准型， 并指出所用的正交变换. 六、设 3 3 ( ) , ( , 1,2,3), A a a A i j = = = ij ij ij 且 a33 = −1, 1, (0,0,1) , T A b = = 求 AX=b 的解
七、设向量组 1,C2,g0m 线性无关，试讨论向量组 B=4+02,=C2+0%,… Bm-1 am-1+m Bm am+a 的线性相关性
七、设向量组 1 2 , , , m 线性无关，试讨论向量组 1 1 2 2 2 3 = + = + , , , 1 1 1 , m m m m m − − = + = + 的线性相关性