第二节Newton插值多项式 一、引言 二、差商及其性质 三、Newton插值多项式 四、小结
第二节 Newton 插值多项式 一、引言 二、差商及其性质 三、Newton插值多项式 四、小结
一、引言 Lagrange插值无论在理论分析还是在实际应用上都有重 要的价值。它的缺点是当节点的个数改变时（比如为提高精度 需增加节点)，基函数L(x)(J=0,1,2,·n)要随着改变，而前面 算过的结果不能利用，需要全部重新算起，这在实际计算中 是非常不利的。 由此引入新的插值公式
一、引言 Lagrange 插值无论在理论分析还是在实际应用上都有重 要的价值。它的缺点是当节点的个数改变时（比如为提高精度 需增加节点），基函数 ( ) j L x ( J n = 0,1,2,,L )要随着改变，而前面 算过的结果不能利用，需要全部重新算起，这在实际计算中 是非常不利的。 由此引入新的插值公式
二、差商及其性质 1、差商的概念 设在n+1个互异点xo,x,…xn上的函数值为已知，我们称 k.)--e x-Xj 为f(x)的一阶差商。 一般地，我们把一阶差商的一阶差商 )5)- x一Xx 称为(x)的二阶差商
二、差商及其性质 1、差商的概念 n x , x , Lx 设在 0 1 n + 1 个互异点 上的函数值为已知，我们称 ( ) ( ) ( ) , ,( ) i j i j i j f x f x f x x i j x x − = − 一般地，我们把一阶差商的一阶差商 ( ) ( , , ) ( ) , , ,( ) i j j k i j k i k f x x f x x f x x x i k x x − = − 称为 f (x) 的二阶差商。 为 f (x) 的一阶差商
把n-1阶差商的一阶差商 (,X）=6-西) 称为f(x)的n阶差商。 用归纳法可以证明，n阶差商可表示为函数值(x,)i=1,2,…n 的线性组合，即 xx)= 0a(,） (3.)
把 n −1阶差商的一阶差商 ( ) ( 0 1 1 1 2 ) ( ) 0 1 0 , , , , , , , , n n n n f x x x f x x x f x x x x x − − = − 称为 f (x) 的 n 阶差商。 用归纳法可以证明，n阶差商可表示为函数值 的线性组合，即 ( )i f x i =1,2, Ln ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 , , n j n j n j f x f x x x = x + = ( 3.1)
实际计算中，常利用如下形式的差商表： f(x) 阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 Xo f(x) X f(x) f(xox) f(x2) f(x,x2) (o,,x f(x,) f(x2,x;) f(x1,x2,x) (xo,x XA f(x4） f(x3,x） f(x2,x3,x4) f(X,…,x4） f(X0,…,x4
实际计算中，常利用如下形式的差商表： 0 x ( ) 0 f x 1 x f x( 1 ) fxx ( 0 1 , ) 2 x f x( 2 ) ( ) 1 2 f x x, f x x x ( 0 1 2 , , ) 3 x ( ) 3 f x ( ) 2 3 f x x, f x x x ( 1 2 3 , , ) f x x ( 0 3 , , ) 4 x f x( 4 ) f x x ( 3 4 , ) f x x x ( 234 , , ) f x x ( 1 4 , , ) ( ) 0 4 f x x , , x f x( ) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
2、差商的性质 (1)线性 即若F(x)=af(x)+g( F()=af()+Bgo (2)对称性 即当任意调换x,的位置时，不改变差商值，如 f(xox,x2)=f(,x,x2)=f(2,x,x)
2、差商的性质 （1）线性 即若 F x f x g x ( ) = + ( ) ( ) 则 ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 , , , , , , , F x x x f x x x g x x x k k k = + （2）对称性 f x x x f x x x f x x x ( 0 1 2 1 0 2 2 1 0 , , , , , , ) = = ( ) ( ) i 即当任意调换x 的位置时，不改变差商值，如
(3)、若 F(x)=f(x)●g(x) 则 F)-芝/，x小88) 当节点相重时，定义 k)婴6)/= 为→x0 X1 -Xo 一般地， kx)=云)
（3）、若 F x f x g x ( ) = • ( ) ( ) 则 ( , , , , , ) ( ) ( ) i k i i k i r r i k r i F x x f x x g x x + + + = = 当节点相重时，定义 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 , lim , lim x x x x f x f x f x x f x x f x → → x x − = = = − 一般地， ( , , , , , , , 0 0 k k ) ( ) d f x x x x f x x x dx =
三、Newton插值多项式 将n次插值多项式P()写成如下形式： P,(x)=ao+a(x-x)+..+ an(x-x)(x-x)…(x-xn） 假定它满足插值条件 Pn(x)=f(x)=y,(1=0,1,…,n 则 P(x)-P-(x)=c(x-x)(x-x)(=x) (3.2 其中P(x)为满足条件 P-(x)=f(x)=y,(i=0,1,…,n-1） 的n-1次插值多项式，c为常数，由条件Pn(xn)=y,可得
三、Newton插值多项式 将n次插值多项式 ( ) P x n 写成如下形式： ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 1 0 0 1 1 n n n P x a a x x a x x x x x x − = + − + + − − − 假定它满足插值条件 P x f x y i n n i i i ( ) = = = ( ) , 0,1, , ( ) 则 ( ) ( ) ( )( ) ( ) P x P x c x x x x x x n n n − = − − − − − 1 0 1 1 (3.2) 其中P x n−1 ( )为满足条件 P x f x y i n n i i i −1 ( ) = = = − ( ) , 0,1, , 1 ( ) 的n −1次插值多项式， c为常数，由条件 P x y n n n ( ) = 可得
c -( (-x))) 注意到 R.)-) 则有 (x。-xo)3。-x)-(。-x》 (xn-x(x。-x(飞-x-,-x(,x Σ8-8--区- (xn-xo(xn-x)…(xn-xm-） x.y Xn-Xj
( ) ( )( ) ( ) 1 0 1 1 n n n n n n n y P x c x x x x x x − − − = − − − 注意到 ( ) ( ) 1 1 0 n n n j j n j P x y l x − − = = 则有 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 n n n n n n n n j n j n n n j j j j j j j n j n n n n n j j n j y c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x − − + − − − + − = − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − • −
(xn-x)(xn-x(xn-xn-） 2- -2,=天-动- 去 于是(3.2)式成为 B(x)=B)+fo)(-x)) 同理，有 Pn(x)=Pn-2(x)+f(xo,x,…xm(x-x）小(x-xn2)
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 1 1 1 0 0 1 1 n n n n n n j j j j j n j n y x x x x x x y x x x x x x x x − − = − = − − − + − − − − ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 1 0 1 , , , n j j j j j n j n n j n j n j y x x x x x x x x y f x x x x = − = + = − − − − = = 于是(3.2)式成为 P x P x f x x x x x x x n n n n ( ) = + − − − − 1 0 1 0 1 ( ) ( , , , )( ) ( ) 同理，有 P x P x f x x x x x x x n n n n − − − − 1 2 0 1 1 0 2 ( ) = + − − ( ) ( , , , )( ) ( )