第二节Euler方法 Euler方法 二 改进Euler方法 三、小结
第二节 Euler 方法 一 Euler 方法 三、小结 二 改进 Euler 方法
Euler方法 给定初值问题 y'=f(x,y) (1.1) y(x)= (1.2) 其中f(x,y)为x,y的已知函数，是给定的常数， 求(1.1)、(1.2)的数值解。 Eler方法是解初值问题(1.1)、(1.2)是简单 数值解法。由于它的精确度不高，实际计算中已 不被采用，然而它在苛种程度上却反映了数值解法 的基本思想
给定初值问题 其中 为 的已知函数， 是给定的常数， 求(1.1)、(1.2)的数值解。 f x y ( , ) x y, 0 y 一 Euler 方法 0 0 ( , ) ( ) y f x y y x y = = (1.1) (1.2) 方法是解初值问题（1.1）、(1.2)是简单 数值解法。由于它的精确度不高， 实际计算中已 不被采用，然而它在苛种程度上却反映了数值解法 的基本思想。 Euler
这种方法是借助于几何直观得到的。由于表 示解的曲线y=(x)通过点(x),并且在该点处以 (x,%)为切线斜率，于是设想在x=附近，曲线 可以用该点处的切线近似代替，切线方程为 u Pn- Po t=0 412 tn-1 In
0 p 1 p 2 p pn−1 n p t = 0 1 t 2 t n 1 t − n t u t 这种方法是借助于几何直观得到的。由于表 示解的曲线 通过点 ，并且在该点处以 为切线斜率，于是设想在 附近，曲线 可以用该点处的切线近似代替，切线方程为 0 0 ( , ) x y 0 0 f x y ( , ) 0 x x = y y x = ( )
y=yo +f(ao)(x-xo) 也就是说，x=x时，y=(x)可用+f(x,y)h近 似代替，记这个值为y,即 y=%+h时(x,%) 于是给出了一种当x=x时，获得函数值(x)的近 似值的方法。重复上面的作法，在x=x处，就 可以得到y(x2)的近似值 y2=y+hf(,)
0 0 0 0 y y f x y x x = + − ( , )( ) 也就是说， 时， 可用 近 似代替，记这个值为 ，即 1 x x = 1 y x = ( ) 0 0 0 y f x y h + ( , ) 1 y 1 0 0 0 y y hf x y = + ( , ) 于是给出了一种当 时，获得函数值 的近 似值 的方法。重复上面的作法，在 处，就 可以得到 的近似值 1 x x = 1 y x( ) 1 y 2 x x = 2 y x( ) 2 1 1 1 y y hf x y = + ( , )
依此下去，当y已经得到，则 ynt =yn+hf(nn) 这就是著名的Euler方法的计算格式。 由于uler方法是用一条折线近似地代替曲 线y(x),所以Eler方法也叫Eler折线法。 种计算格式，当在计算y时，仅仅用到 它前一步的信息y,称它为单步法。可见卫所法 就是单步法
1 ( , ) n n n n y y hf x y + = + 依此下去，当 yn 已经得到，则 这就是著名的 Euler 方法的计算格式。 Euler Euler 由于 方法是用一条折线近似地代替曲 线 y x( ) ，所以 Euler 方法也叫 折线法。 Euler n 1 y + n y 一种计算格式，当在计算 时，仅仅用到 它前一步的信息 ，称它为单步法。可见 方法 就是单步法
改进的Euler方法 将方程(1.1)在区间[x,x]上求积分，便得到 x)-)=∫fx,x》d (1.4) (1.4)式中右端的积分，可以用数值积分法计 算它的近似值。例如，使用矩形公式则有 y(x)≈+f(x,） 上式右端就是用Euler方法得到的y,即
将方程(1.1)在区间 x x 0 1 , 上求积分，便得到 (1.4)式中右端的积分，可以用数值积分法计 算它的近似值。例如，使用矩形公式则有 1 0 0 0 y x y hf x y ( ) ( , ) + 二 改进的 Euler 方法 1 0 1 0 ( ) ( ) ( , ( )) x x y x y x f x y x dx − = (1.4) 上式右端就是用 Euler 方法得到的 y1 ，即
乃=a+h时(x,%) 一般地有 y=yn+hf(xn,yn》 这就是Euler公式(1.3)。 由此可见，E访法出可以看成用矩形公式近 似计算某个相应的定积分而得到的。因此可以说， 方跑灾忾以精确度不高，正是由于它在计算定 积分时，采用矩形公式的缘故。 倘若使用较为精确的梯形公式来计算(1.4)式 中右端的积分，即
1 0 0 0 y y hf x y = + ( , ) 一般地有 1 ( , ) n n n n y y hf x y + = + 这就是 Euler 公式(1.3)。 由此可见， 方法出可以看成用矩形公式近 似计算某个相应的定积分而得到的。因此可以说， 方法也之忾以精确度不高，正是由于它在计算定 积分时，采用矩形公式的缘故。 Euler Euler 倘若使用较为精确的梯形公式来计算(1.4)式 中右端的积分，即
∫fx,x≈，L/,tfx川 )L/(x,%)+f(x⅓】 将它代入(1.4)式的右端，便得到(x)的近似值， 片=%+2/w)+fx+y】 用同样的方法可以得到2，，·。一般地有， =a+2f3y)+fya】 (1.5)
1 0 0 0 1 1 ( , ( )) [ ( , ) ( , ( ))] 2 x x h f x y x dx f x y f x y x + 将它代入(1.4)式的右端，便得到 y x( )1 的近似值 y1 ， 1 0 0 0 1 1 [ ( , ) ( )] 2 h y y f x y f x y = + + + 用同样的方法可以得到 y y 2 3 , , 。一般地有， 0 0 1 1 [ ( , ) ( , )] 2 h + f x y f x y 1 1 1 [ ( , ) ( , )] 2 n n n n n n h y y f x y f x y + + + = + + (1.5)
这就是改进的Eler方法的计算格式。值 得注意的是Euler方法中yi是由已知的或已 经算出的量来表达的，得到期它不需要解方程， 这类方法通常称为显示方法；而在改进Ele访 法中，未知数y也隐含在方程右端之中， 对于每一个y的值都需要通过解方程才能 得到，这类方法通常称为隐式格式。在多数情 况下，要从隐式格式(1.5)中解出y+1是很困 难的。因此，通常采用如下的迭代方法来求解。 即先用Euler方法算出一个结果，作为(1.5)式 的初值，进行迭代，其计算格式为
n 1 y + n 1 y + n 1 y + n 1 y + 这就是改进的 方法的计算格式。值 得注意的是 方法中 是由已知的或已 经算出的量来表达的，得到期它不需要解方程， 这类方法通常称为显示方法；而在改进 方 法中，未知数 也隐含在方程右端之中， 对于每一个 的值都需要通过解方程才能 得到，这类方法通常称为隐式格式。在多数情 况下，要从隐式格式(1.5)中解出 是很困 难的。因此，通常采用如下的迭代方法来求解。 即先用 方法算出一个结果，作为(1.5)式 的初值，进行迭代，其计算格式为 Euler Euler Euler Euler
9=,+,》 (1.6) =+与1frn】 (k=01,2…） 由 "-周-=r0xw-f4） 可知，当L<1时，迭代格式收敛。也就是说， 只要取得充分小，就可能保证迭代序列
(0) 1 ( 1) ( ) 1 1 1 ( , ) [ ( , ) ( , )] ( 0,1, 2 ) 2 n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k + + + + + = + = + + = (1.6) ( 1) ( ) ( ) ( 1) 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) 2 k k k k n n n n n n h y y f x y f x y + − + + + + + + − = − 由 ( ) ( 1) 1 1 2 k k n n h L y y − − + + 可知，当 时，迭代格式收敛。也就是说， 只要 取得充分小，就可能保证迭代序列 1 2 h L h