南阳师范学院：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 多元函数微分法及其应用 第二节 偏导数

公第二节偏导数公公 偏导数概 念及计算 偏导数与 主要 高阶偏 连续性 内容 导数 偏导数 几何意义

偏导数概 念及计算 偏导数与 连续性 高阶偏 导数 偏导数 几何意义 主 要 内 容 第二节 偏导数

偏导数的概念及计算 定义 设函数：=fx,y)在点(x,)的某邻域内 f (xo2 o)=lim f(x+△x,yo)-f(xo,) △x-→0 △x 有定义，当y固定在，而x在x,处有增量 类似地：二元函数：=fx,)在点（化，） △x时，相应函数有增量fx,+△x,)-fx) 如果极限 对y的偏导数可以定义为 lim f(xo+Ax,Yo)-f(xo-Yo) f(x,+△y)-f(x,) △x>0 △x f(Xo>o)=lim △y 存在，那么这个极限就叫做二元函数：=fx,y) 该偏导数也可记为 在点(x,)处对x的偏导数.记为 fx),w专

定义 设函数z f x y  ( , )在点 0 0 ( , ) x y 的某邻域内 有定义，当 y 固定在 0 y ， 而x在 0 x 处有增量 x时，相应函数有增量 0 0 0 0 f x x y f x y ( , ) ( , )    如果极限 x f x x y f x y x      ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在那么这个极限就叫做二元函数z f x y  ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处对x的偏导数. 记为 0 0 ( , ) x f x y  ， 0 0 ( , ) x x y z  ， 0 0 ( , ) x y z x    0 0 ( , ) x y f x   0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x ( , ) lim x f x x y f x y f x y   x       类似地：二元函数z f x y  ( , )在点 0 0 ( , ) x y 对 y 的偏导数可以定义为 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) y ( , ) lim y f x y y f x y f x y   y       该偏导数也可记为 0 0 ( , ) y f x y  ， 0 0 ( , ) y x y z  ， 0 0 ( , ) x y z y    0 0 ( , ) x y f y   一、偏导数的概念及计算

一、偏导数的概念及计算公 二元函数：=fx,y)的偏导数与一元函数y=fx)的导数的区别与联系 af d df 1)记号不同 ax’ ar' k’ f(x.y) ,(x) 区别 v, f(y) a 专用于偏导数 ax'dy 名是微商可 (2)算符的意义不同 算符是整体符号不能 以看做是分 看做是分子分母的商。 子分母的商 一元函数y=f(x) 二元函数z=f(x,y) 关联 △y=f(x+△x)-f(x) △2=f(x+△x,%)-f(x,y) 少=lim Ay dkr0△x (o)=lim A Ar→0△x f,)就是一元函数z=f(x,yo)对x的导数，求时，只要把暂时y看作常量而对x求导数 ax 求斗时，只要把x暂时看作常量而对y求导数

一、偏导数的概念及计算 二元函数z f x y  ( , )的偏导数与一元函数 y f x  ( )的导数的区别与联系 区别 1）记号不同 （2）算符的意义不同 关联 dy dx  df dx  y   f y( )   x z    x f    x z   ( , ) x f x y   z y    f y    y z   ( , ) y f x y   dy dx 是微商可 以看做是分 子分母的商 , x y     专用于偏导数 算符是整体符号不能 看做是分子分母的商. 一元函数 y f x  ( ) 0 0      y f x x f x ( ) ( ) 二元函数 z f x y  ( , ) 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x      z f x x y f x y 0 lim x dy y dx x      0 0 0 ( , ) lim x x x z f x y   x     0 0 ( , ) x f x y  就是一元函数 0 z f x y  ( , ) 对 x 的导数，求 x f   时 只要把暂时 y 看作常量而对 x 求导数 求 y f   时 只要把x暂时看作常量而对 y 求导数

偏导数的概念及计算 例1求：=x2+3y+y2在点L,2)处 例2设：=x(x>0,x≠L,y∈R)证明 x dz 1 0z 的偏导数 y ax Inx dy -22 解(1)把y看做常数得 证明（1)把y看做常数得 2=2x+3y a=x-1 把x看做常数得 0z=3x+2y (a=alnx分 o -x"Inx ay (2)将1,2)代入得 a)将会高代入得 器-21+3-2=8 x.正+1.=2x=2 y dx Inx dy a1,2)=31+2-2=7 即结论成立

一、偏导数的概念及计算 例 1 求 2 2 z x xy y    3 在点(1,2)处 的偏导数 解 （1）把 y 看做常数得 x y x z 2 3   把x 看做常数得x y y z 3 2   （2）将(1,2)代入得 (1,2) 2 1 3 2 8 z x        (1,2) 3 1 2 2 7 z y        1 2 ln x z z z y x x y         证明 （1）把 y 看做常数得 z y 1 yx x       1 x x         ln x x a a x   ln z y x x y    （2）将 , z z x y     代入得 1 2 2 ln x z z y x z y x x y          即结论成立 例 2 设 ( 0, 1, ) y z x x x y R     证明

偏导数的概念及计算 求偏导数的方法…定义法 例3设fx,y)= +yx川≠0,0) 求f'0,0),0,0) (x,y)=(0,0) (①)△2=fx+△x,%)-f(x,%) △2=f(,+Ay)-f(xo) 解：(1)显然△，z=f0+△x,0)-f(0,0)=0 (2)4生=+A年)-f △2=f(0,0+△y)-f(0,0)=0 △x △x 所以 △2=fo,6+Ay)-fo,6） △=04,2=0 △y Av △x △y ⑧吗=+园 故 △x x2=0 f(0,0)=A 典-到 ,2 f0,0)=A =0

一、偏导数的概念及计算 求偏导数的方法-------定义法 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) x （）     z f x x y f x y 0 0 0 0 ( , ) ( , ) y      z f x y y f x y 0 0 0 0 ( , ) ( , ) (2) x z f x x y f x y x x        0 0 0 0 y z f x y y f x y ( , ) ( , ) y y        0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) (3) lim lim x x x z f x x y f x y     x x        0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim y y y z f x y y f x y     y y        例 3 设 2 2 ,( , ) (0,0) ( , ) 0, ( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y          求 (0, 0), (0, 0) x y f f    (0 ,0) (0,0) 0 x 解：(1)显然      z f x f (0,0 ) (0,0) 0 y       z f y f 所以 0 0 x y z z x y       故 0 (0, 0) lim 0 x x x z f   x      0 (0, 0) lim 0 y y y z f   y     

偏导数的几何意义 (1)一元函数y=f(x)的导数的几何意义 （2)z=f(x,y)偏数的几何意义 f'(x)就是曲线y=f(x)在点(o,fx) 1)2=f(x,yo)对x的偏导数的几何意义 的切线的斜率。 x)是曲线 y=% 在点 z=f(x,yo) 注记f(x,)是一元函数z=f(x,yo) (xf(x,)》的切线对x轴的斜率， 对x的导数 2)z=f(x。,y)对y的偏导数的几何意义 f(x)就是曲线 x=Xo f(x)是一元函数z=f(x,y) 在点 z=f(xoy) 对y的导数 (x,fx,》的切线对y轴的斜率

二、偏导数的几何意义 （1）一元函数 y f x  ( )的导数的几何意义 0 f x ( )就是曲线 y f x  ( )在点 0 0 ( , ( )) x f x 的切线的斜率. （2） z f x y  ( , )偏数的几何意义 注记 0 0 ( , ) x f x y  是一元函数 0 z f x y  ( , ) 对x的导数 0 0 ( , ) y f x y  是一元函数 0 z f x y  ( , ) 对 y 的导数 1） 0 z f x y  ( , ) 对x的偏导数的几何意义 0 0 ( , ) x f x y  是曲线 0 0 ( , ) y y z f x y      在点 0 0 0 0 ( , , ( , )) x y f x y 的切线对x轴的斜率. 2） 0 z f x y  ( , )对 y 的偏导数的几何意义 0 0 ( , ) y f x y  就是曲线 0 0 ( , ) x x z f x y      在点 0 0 0 0 ( , , ( , )) x y f x y 的切线对 y 轴的斜率

三、偏导数与连续的关系公心公 (1)一元函数在某点可导，则它在该点必连续 (2)对多元函数来说即便是偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续 x2+26G八≠(0,0) y 如 f(x.y) 0,(x,y)=(0,0) 由第一节的例1我们知道该函数在(0,0)点不连续 但该函数在(0,0)点的偏导数存在，且 (0,0)=0f'(0,0)=0 思考题：二元函数偏导数在某点都存在是连续的必要条件还是充分条件， 还是既不是必要条件也不是充分条件？

三、偏导数与连续的关系 （1）一元函数在某点可导，则它在该点必连续 （2）对多元函数来说即便是偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续 如          0,( , ) (0,0) ,( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y xy f x y 由第一节的例 1 我们知道该函数在（0,0）点不连续 但该函数在（0,0）点的偏导数存在，且 (0, 0) 0 x f   (0, 0) 0 y f   思考题：二元函数偏导数在某点都存在是连续的必要条件还是充分条件, 还是既不是必要条件也不是充分条件?

四、高阶偏导数 如果函数：=fx,)在区域D内的偏导数f(x,)、f(x,y)也具有偏微导数， 则它们的偏导数称为函数：=fx,)的二阶偏导数. 一般地： 2=fx,y)的 (1）:=x)对x的二阶偏导数记作，fx,以，) n-1阶偏导数的偏导 数称为函数z=f(x,y) 的n阶偏导数 (2) =fx,)对x,y的二阶混合偏导数记作 Oxa ,f(x,y),”(x,y) f(x,y)= axoy dy ax (3)=fx,)对y,x的二阶混合偏导数记作 ,f(x,y).=(x.y) o' 二阶及二阶以上的 (4) )对)的二阶偏导数记作c(c川 偏导数称为 x,)= 高阶偏导数 y2

如果函数z f x y  ( , )在区域 D 内的偏导数 ( , ) x f x y  、 ( , ) y f x y  也具有偏微导数 则它们的偏导数称为函数z f x y  ( , )的二阶偏导数 （1）z f x y  ( , )对x的二阶偏导数记作 2 2 , ( , ), ( , ) xx xx z f x y z x y x     2 2 ( , ) ( ) xx z z f x y x x x          （2）z f x y  ( , )对x y, 的二阶混合偏导数记作 2 , ( , ), ( , ) xy xy z f x y z x y x y      2 ( , ) ( ) xy z z f x y x y y x           （3）z f x y  ( , )对 y x, 的二阶混合偏导数记作 2 , ( , ), ( , ) yx yx z f x y z x y y x      2 ( , ) ( ) yx z z f x y y x x y           （4）z f x y  ( , )对 y 的二阶偏导数记作 2 2 , ( , ), ( , ) yy yy z f x y z x y y     2 2 ( , ) ( ) yy z z f x y y y y          一般地： z f x y  ( , )的 n 1阶偏导数的偏导 数 称为函数 z f x y  ( , ) 的 n 阶偏导数 二阶及二阶以上的 偏导数称为 高阶偏导数 四、高阶偏导数

心四、高阶偏导数 例3设：=y-3y2-y+1求 所以 =6x2y-9y2-1 Oyax dr2、 oxdy ax、 Ox3 =2x3-18xy 解： (1)显然=3xy-3y-y Ox 02z 02z 所以 dr2s =6y2 8y8x axoy 0- =6x2y-9y2- 定理如果函数：=x,y)的两个二阶混合偏 axoy ay ax 导数器及器在区域D内连续，那么在该 ovax 63 区域内这两个二阶混合偏导数必相等.一！ (2) 由于=2xy-9w2-x 情况下，初等函数的二阶混合偏导数与求 oy 偏导数的顺序无关」

四、高阶偏导数 例 3 设 3 2 3 z x y xy xy     3 1求 2 2 x z   、 x y z    2 、 y x z    2 、 3 3 x z   解：（1）显然 2 2 3 3 3 z x y y y x      所以 2 2 2 6 z z xy x x x             （2）由于 3 2 2 9 z x y xy x y      所以 2 2 2 6 9 1 z z x y y y x x y                3 2 2 3 2 6 z z y x x x             2 2 2 6 9 1 z z x y y x y y x                2 3 2 2 18 z z x xy y y y              定理 如果函数z f x y  ( , )的两个二阶混合偏 导数 y x z    2 及 x y z    2 在区域 D 内连续那么在该 区域内这两个二阶混合偏导数必相等一般 情况下，初等函数的二阶混合偏导数与求 偏导数的顺序无关

四、高阶偏导数 例5：验证函数：=n√x2+y2满足方程 课堂训练 a+02g=0 1: 验证函数：=√2+y+2满足方程 Ox2oy2 o'r 证明：由于：=nF+y=n(+y),所以 o'r o'r2 &y +yx2+y 2: 求Or 从而 设， dr? x=0,y=2 产：_2+yx2x。y2-x d? (x2+y22（x2+2)月 必做题：习题8-2：1(2)(3)(6) 3、 a2z-x2+y2)-y2y=x2-y2 5、6（1) 0y2 (x2+y2) (x2+y2)月 选做题：习题8-2：1(4)(5)(7) 所以 慕+亲-0 8

例 5：验证函数 2 2 z ln x  y 满足方程 0 2 2 2 2       y z x z 证明：由于   2 2 2 2 1 ln ln 2 z x y x y     ，所以 2 2 z x x x y     ， 2 2 z y y x y     从而       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x x y x x2 x x y x y                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x y x y y y 2 y x y x y           所以 0 2 2 2 2       y z x z 课堂训练 1：验证函数 2 2 2 z x y z    满足方程 2 2 2 2 2 2 r r r 2 x y z r          2：设 2 0 sin ( , ) 1 xy t F x y dt t    ， 求 2 2 x y 0, 2 F x     必做题：习题 8-2：1（2）（3）（6）（8） 3、 5、 6（1） 选做题：习题 8-2：1（4）（5）（7） 四、高阶偏导数 4 、 8