§10.1常数项级数的概念及性质 常数项级数概念 无穷级数性质 级数收敛的条件 应 用
§10.1 常数项级数的概念及性质 常数项级数概念 无穷 级数性质 级数 收敛的条件 应 用
回顾数列的性质 数列: 141,42,…,n,… 前n项和: Sn=4+山2+43,+…十un lim s=s n-→0 单调有界数列必收敛 若一数列收敛于5,则其任意的子列必收敛于s 若limS2n=S,limS2m1=S 若limS2n=S,limS2m1=S2,且 n→0 n-y0 1300 则 lims=s S1≠S2 则数列3,必发散 1→00
背景:求曲顶柱体的体积 一、 回顾数列的性质 数列: 1 2 , , , , n u u u 前 n 项和: 1 2 3, n n s u u u u 单调有界数列必收敛 若一数列收敛于s, 则其任意的子列必收敛于s 若 2 2 1 lim ,lim n n n n s s s s 若 2 1 2 1 2 lim ,lim n n n n s s s s ,且 1 2 s s 则数列 n s 必发散 lim n n s s 则 lim n n s s
二、常数项级数的概念 设有数列 4,,把它的项依次用加号连起来,所得的式子 即 un 41+42+%3…+,+ 记为吃4 称为常数项级数. 第n项n叫做级数的一般项 级数的前n项和Sn=4+山2+43+…+山n称为级数的部分和 S,52,S,…称为部分和数列,记作{Sn} 00 如果级数 山,的部分和数列 则称无穷级数 4n收敛,这时极限 n=] n= Sn 有极限s(有限)即lim s=s n→0 ,叫做这级数的和,并写成5=∑4 n=l 如果级数 u.的部分和数列 则称级数 n=l ∑,发散 2= Sn不存在
二、常数项级数的概念 设有数列 n u ,把它的项依次用加号连起来,所得的式子 1 2 3 n u u u u 称为常数项级数. 即 1 n n u 记为 n1 n u 级数的前 n 项和 n n 1 2 3 s u u u u 称为级数的部分和 第 n 项 un 叫做级数的一般项 1 2 3 s s s , , , 称为部分和数列,记作{ }n s 如果级数 n1 un 的部分和数列 n s 有极限 s (有限)即 lim n n s s 如果级数 n1 n u 的部分和数列 n s 不存在 则称无穷级数 n1 un 收敛 这时极限 s 叫做这级数的和并写成 1 n n s u 则称级数 n1 n u 发散
二、常数项级数的概念 当级数了 收敛时,其部分和sn是级数 的和s的近似值它们之间的差值 00 'n=S一Sn=4n+1+4n+2十…叫做级数 un的余项。 n=1 注记1: 级数u 收敛的充要条件是其部分和数列、收敛 n=1 级数】 发散的充要条件是其部分和s,数列发散 注记2:级数 ,收敛的充要条件是m。=s,lm=S 10 n=1 注记3:用定义判断级数 收敛的一般步骤 n=1 第一步:计算 的前n项和Sn;第二步:判断Sn是否收敛 n=
二、常数项级数的概念 当级数 n1 un 收敛时 其部分和 n s 是级数 n1 un 的和s 的近似值 它们之间的差值 n n n n 1 2 r s s u u 叫做级数 n1 un 的余项 注记 1:级数 n1 n u 收敛的充要条件是其部分和数列 n s 收敛 级数 n1 un 发散的充要条件是其部分和 n s 数列发散 注记 2:级数 n1 n u 收敛的充要条件是 2 2 1 lim ,lim n n n n s s s s 注记 3:用定义判断级数 n1 n u 收敛的一般步骤 第一步:计算 n1 n u 的前n 项和 n s ;第二步:判断 n s 是否收敛
例1讨论等比级数(几何级数) ∑ag=a+ag+ag2+…+ag+…的收敛性. n= sn=a+aq+ag+…+ag" lql≠1 a-aq" Sn= 1-q g=1 q>1 14l<1 S,=na S,=-na limg”=o∞ limg"=0 n-→c0 1-→0 lims,=o lims,=o lims,=o a 1-→c0 1→o0 1-→c0 lims,= 1-→00 1-9 q"= 当q<1时,收敛 1=0 当 ≥1时,发散
例 1 讨论等比级数(几何级数) 2 0 n n n aq a aq aq aq 的收敛性. 2 1 n n s a aq aq aq q 1 1 n n a aq s q q 1 n s na lim n n s n s na lim n n s q 1 lim n n q lim n n s q 1 lim 0 n n q lim 1 n n a s q 当 1时,发散 当 1时,收敛 q q aq n n 0
二、常数项级数的概念 例2判别级数乃,1=1+」 1 +…的收敛性 m后n(n+1)12'2.3 (n+1) 解: 111 显然w,Fmn+0)nn+1 拆项法 所以 1,1 1 5m=122-3 n-(n+1) (1(及+日)1中 故im5,=l,从而级数方1 收敛 7→00 台n(n+1)
二、常数项级数的概念 例 2 判别级数 1 1 1 1 1 n n n n n ( 1) 1 2 2 3 ( 1) 的收敛性 解: 显然 1 1 1 ( 1) 1 n u n n n n 所以 1 1 1 1 2 2 3 ( 1) n s n n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 n n n 故 lim 1 n n s ,从而级数 1 1 n n n( 1) 收敛 拆项法
二、常数项级数的概念 例3证明调和级数2}发散 反证法 n=1 n 证明: 1++1+1十+ 1 n'n+1 2n 所以-,=1 11,1 11 十…十 2n2n 2n 2n2 如果调和级数上收敛,则im,=ms,=,从而 n=i n n-+00 m-,=m一m5=s-5=0分 n→ 7◆ 由极限的性质可得 n→ 矛盾.因此调和级数发散
二、常数项级数的概念 例 3 证明调和级数 1 1 n n 发散. 证明: 显然 1 1 1 , 2 n s n 2 1 1 1 1 1 2 1 2 n s n n n 所以 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 n n s s n n n n n 由极限的性质可得 2 1 lim 2 n n n s s 如果调和级数 1 1 n n 收敛,则 2 lim lim n n n n s s s ,从而 2 2 1 lim lim lim 0 2 n n n n n n n s s s s s s 矛盾. 因此调和级数发散. 反证法
课堂训练-判断正误 (1)-882 9+g2+…+(-1) 8+…收敛 3323” (2) 222+…+ +…发散 2n 111 (3) 一十 +…发散 363n (4)1+2+…+n+…发散. (5)-1+1-1+1-…-1+1-…发散 (6)(-1+1)+(-1+1)+…+(-1+1)…收敛
课堂训练-判断正误 (1) 2 2 8 8 8 ( 1) 9 9 9 n n n 收敛. (2) 2 2 3 3 3 2 2 2 n n 发散. (3) 1 1 1 3 6 3n 发散. (4) 1 2 n 发散. (5) 1 1 1 1 1 1 发散 (6) ( 1 1) ( 1 1) ( 1 1) 收敛
三、常数项级数收敛的必要条件 问题: 要使级数 ∑n收敛,必须满足什么条件? Sn=41+42+%3+…+4n-1+un 级数三“收敛 S-1=山1+山2+43+…+un-1 un Sn-Sn-1 lim s=s limu lims-lim s,-1=s-s=0 n-→00 n-→0 n-→0 定理: 如果级数∑4,收敛,则1im4,=0(反过来不一定成立) n=1 11-→00 注记3:若1im4,≠0则∑4,一定发散 n-o0 n=1
三、常数项级数收敛的必要条件 问题: 要使级数 1 n n u 收敛,必须满足什么条件? 级数 1 n n u 1 2 3 1 收敛 1 1 2 3 1 n n n n n s u u u u u s u u u u n n n 1 u s s lim n n s s 1 lim lim lim 0 n n n n n n u s s s s 定理: 如果级数 1 n n u 收敛,则 lim 0 n n u (反过来不一定成立) 注记 3:若 lim 0 n n u 则 1 n n u 一定发散
四、常数项级数基本性质 性质1:如果级数 山n收敛,且其和为s, 性质2:如果级数 ∑4n与∑yn收敛 n=1 n=l 则级数∑k,也收敛,且其和为s. 则级数∑(4士)也收敛,且 n=1 n= 0 即 n=1 n=1 性质3:在一个级数的前面加上(去掉) 性质4:如果一个级数收敛,则加括号后 有限项,级数的敛散性不变 所成的级数也收敛,且与原级数有 即 ∑4与 4n有相同的敛散性 相同的和. n= n=k+1
四、常数项级数基本性质 性质 1:如果级数 n1 un 收敛 且其和为s, 则级数 1 n n ku 也收敛且其和为ks.. 即 1 1 n n n n ku k u 性质 2:如果级数 n1 un 与 1 n n v 收敛 则级数 1 n n n u v 也收敛且 1 1 1 ( ) n n n n n n n u v u v 性质 3: 在一个级数的前面加上(去掉) 有限项 级数的敛散性不变 即 1 n n u 与 1 n n k u 有相同的敛散性 性质 4:如果一个级数收敛 则加括号后 所成的级数也收敛 且与原级数有 相同的和.