南阳师范学院：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第六章 微分方程 §6.5 二阶常系数线性微分方程

§6.5二阶常系数线性微分方程 主要 内容 二阶常系数 二阶常系 线性微分 数线性微 方程的定义 分方程的解

§6.5 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数 线性微分 方程的定义 主 要 内 容 二阶常系 数线性微 分方程的解

一、二阶常系数齐次线性微分方程的定义 定义：形如y”+py+9少=0的方程叫做二阶常系数齐次线性微分方程 其中P,9为常数 未知函数的 未知函数的 未知函数的 二阶导数且 一阶导数系 一次且系数 系数为1 数为常数 为常数 +py+qy =0 课堂训练1：下列是二阶齐次线性方程的是（) (1) d'y dy (2) xd'y dy +y=0 (3) d'y dx2 +y=1 dx dx?dx +y=0 (4) dy dy d2-x +y=0 (5) dr y-3+4=0】 (6)y"+2y=0 d

定义：形如 y py qy      0 的方程叫做二阶常系数齐次线性微分方程 其中 p q, 为常数 y py qy      0 未知函数的 二阶导数且 系数为1 一、二阶常系数齐次线性微分方程的定义 课堂训练 1：下列是二阶齐次线性方程的是（ ） (1) 1 2 2   y  dx dy dx d y (2) 0 2 2   y  dx dy dx d y x (3) 0 2 2  xy  dx d y (4) 0 2 2   y  dx dy x dx d y (5) 3 4 0 2 2   y  dx dy dx d y (6) y y   2 0 未知函数的 一阶导数系 数为常数 未知函数的 一次且系数 为常数

二阶常系数齐次线性微分方程的解 若y=(x),y=y(x),是 y=C1(x)+C12(x)是否是 y”+y+y=0的解， y”+py+y=0的解？ "+py+9%=0 (Cy+C2y2)+p(Cy+C2y) y2+py+9y2=0 +q(Cy+C2y2)=0 C(”+py+y) (C"+C2)+p(Cy+C22) +C2（y2+py2+9y2)=0 +9(Cy+C2y)=0

若 1 2 y y x y y x   ( ), ( ),是 y py qy      0 的解， 1 1 1 2 y C y x C y x   ( ) ( ) 是否是 ？ y py qy      0 的解？ 1 1 1 y py qy      0 2 2 2 y py qy      0 C y py qy 1 1 1 1           C y py qy 2 2 2 2     0 C y C y p C y C y 1 1 2 2 1 1 2 2              q C y C y  1 1 2 2  0 C y C y p C y C y 1 1 2 2 1 1 2 2            q C y C y  1 1 2 2  0 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 定理1：如果y=(x),y=2(x),是y”+py'+9必y=0的解，那么 (1)y=Cy(x)+C22(x)是y”+py+q=0的解 (2)若y(x)/y,(x)丰常数，则对任意的常数C1,C2, y=C(x)+C22(x) 是y”+py+y=0的通解 注记1：要想求出y”+py+少=0的通解，只需要找到 它的两个不同的解且比值为非常数即可

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 定理 1：如果 1 2 y y x y y x   ( ), ( ),是 y py qy      0 的解，那么 （1） 1 1 2 2 y C y x C y x   ( ) ( )是 y py qy      0 的解 （2）若 1 2 y x y x ( ) ( )  常数，则对任意的常数 1 2 C C, , 1 1 2 2 y C y x C y x   ( ) ( ) 是 y py qy      0 的通解 注记 1：要想求出 y py qy      0 的通解，只需要找到 它的两个不同的解且比值为非常数即可

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 若y=y(x)是 函数y=e一定是 y”+py+y=0的解 y”+py+y=0的解 由于r2+pr+q=0 一定有解 "与片及y应有 特征方程 较好的等量关系 其根称为 r2+pr+9=( 0 特征根 y=e是y"+py+9Dy=0 的解充要条件 联想函数y=e具有 猜想y=e是 y"=r'=r2y y"+py+qDy=0的解

若 y y x  ( )是 y py qy      0 的解 1 1 y y y   与 及 应有 较好的等量关系 猜想 rx y e  是 y py qy      0 的解 联想函数 rx y e  具有 2 y ry r y     rx y e  是 y py qy      0 的解充要条件 2 r pr q    0 函数 rx y e  一定是 y py qy      0 的解 由于 2 r pr q    0 一定有解 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 特征方程 其根称为 特征根

、二阶常系数齐次线性微分方程的解 有两个不同的实根 △>0 △<0 有两个共轭的虚根 ≠2 +pr+q=0 r=a±iB y"+py'+y=0 y"+py'+qv=O A=0 两个不同的解 两个不同的解 有两个相等的实根 当=ear+iBr y2 =eax-iBx r=r=r 乃=eixy2=ex y+py'+9y=0 两个不同的解 y =当+ y/y2三常数 p 片=e,y2=xe'x y2 = 2i y"+y'+y=0通解 /y2≠常数 y=Cex+Cex y"+py'+9y=0通解 y”+py+9Dy=0通解 其中C,C2为任意的常数 y=(C+C2x)e"* y=(C Cos Bx+C2 sin Bx)e

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 0 2 r  pr  q  有两个不同的实根   0 1 2 r  r   0 有两个共轭的虚根 r i       0 有两个相等的实根 1 2 r r r   1 2 1 2 r x r x y e y e   y y 1 2  常数 y py qy      0 两个不同的解 y py qy      0 通解 1 2 1 2 r x r x y C e C e   其中 1 2 C ,C 为任意的常数 y py qy      0 两个不同的解 1 2 , rx r x y e y xe  1 2 y y  常数 y py qy      0 通解   r x y C C x e  1  2 y py qy      0 两个不同的解 1 2 x i x x i x y e y e         1 1 1 1 1 2 2 2 y y y y y y i     y py qy      0 通解   1 2 cos sin x y C x C x e    

二阶常系数齐次线性微分方程的解 注记2：求二阶常系数齐次线性微分方程y”+y+少=0的通解的步骤为： 第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0 第二步求出特征方程的两个根， 第三步根据特征方程的两个根的不同情况，写出微分方程的通解， 特征方程r2+pr+q=0的两个根1，乃 微分方程y”+py+9y=0的通解 （1)两个不同的实根≠乃 (1)y=Cenx+Cex (2)两个相同的实根了=2 (2)y=(G+C2x)e (3)一对共轭复根r=士B (3)y=(C Cos Bx+C2sin Bx)ea

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 注记 2：求二阶常系数齐次线性微分方程 y py qy      0的通解的步骤为 第一步 写出微分方程的特征方程 2 r pr q    0 第二步 求出特征方程的两个根 1 2 r r, 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 特征方程 2 r pr q    0的两个根 1 2 r,r （1）两个不同的实根 1 2 r  r （1） 1 2 1 2 r x r x y C e C e   （2）  1 2  rx （2）两个相同的实根 r1  r2 y C C x e   （3）一对共轭复根 r  i （3）  1 2 cos sin  x y C x C x e     微分方程 y py qy      0 的通解

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解之 例1求y+2y-3y=0通解. 例2求y"+4y+4y=0的通解. 解：（1)特征方程为r2+2r-3=0. 解： （1)特征方程为r2+4r+4=0. (2)解得：5=-3,3=1. (2)得特征根5=5=-2， (3)得通解为y=C,e3x+C2e. (3)通解为y=(C+C2x)e2x. 反过来：若y”+py+少=0的通解为 反过来：若y”+py+y=0的通解为 y=Cex+C2e.问：p=?,q=? y=(C+C2x)e2x问：p=?,q=? 分析：（1)由已知可得特征根1=-3,5=1即r2+pr+q=0的根为-3,1 (2)由韦达定理可得p=-(+2)=2,9=5=-3

例 1 求 y y y      2 3 0 通解 解：（1）特征方程为 2 3 0 2 r  r    （2）解得： r1  3, r2 1 （3）得通解为 x x y C e C e2 3  1    二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 例 2 求 y  4y  4y  0 的通解 解： （1）特征方程为 4 4 0 2 r  r    （2）得特征根r1  r2  2 （3）通解为   2 1 2 x y C C x e    反过来：若 y  py  qy  0 的通解为 x x y C e C e2 3  1    问： p  ?,q  ?  反过来：若 y  py  qy  0 的通解为   2 1 2 x y C C x e   问： p  ?,q  ? 分析：（1）由已知可得特征根 1 2 r r    3, 1 即 0 2 r  pr  q  的根为3,1 （2）由韦达定理可得 ( ) 2, 3. p   r1  r2  q  r1 r2   

、二阶常系数齐次线性微分方程的解 例3求y”+y=0的通解 思考题：已知函数y=f(x)可微， 解： (1)特征方程为r2+1=0. 且f"(x)-f)dh=x.f0)=1 (2)解得：r=±i. 求y=f(x) (3)得通解为y=Ccosx+C2sinx,分析：(1)找出y=f(x)满足的微分方程 反过来：若y”+py+少=0的通解为 (2)求微分方程y”-y=0的通解 (3)求微分方程y”-y=1的特解 y=C cosx+C,sinx (4)求微分方程y”-y=1的通解 问：p=?,q=?. (5)求微分方程y”-y=1的满足 y'(0)=0,y(0)=1的解

例 3 求 y  y  0的通解 解：（1）特征方程为 1 0 2 r    （2）解得：r i    （3）得通解为 y C cos x C sin x  1  2  二、二阶常系数齐次线性微分方程的解 反过来：若 y  py  qy  0 的通解为 y C cos x C sin x  1  2 问： p  ?,q  ?  思考题： 已知函数 y  f (x) 可微， 且     x f x f t dt x 0 ( ) ( )  f (0) 1 求 y  f (x) 分析：（1）找出 y  f (x) 满足的微分方程 （2）求微分方程 y y    0的通解 （3）求微分方程 y y   1的特解 （4）求微分方程 y y   1的通解 （5）求微分方程 y y   1的满足 y y （ 0 =0 0 1 ） ，（ ） 的解