第五节Romberg方法 Romberg方法 二、加速公式的一般形式
第五节 Romberg 方法 一 Romberg 方法 二、加速公式的一般形式
Romberg方法 Romberg方法实际上是对逐次分半算法的改进，又 称逐次分半加速算法。 由逐次分半算法，我们可依递推公式 I=5(,+H) (5.1) 2 得到一个序列{T},n=1,2,称为梯形值序列，随后便可由 关系式 -7 4 3 (5.2)
2 1 ( ) 2 T T H n n n = + (5.1) 得到一个序列 称为梯形值序列，随后便可由 关系式 , 1, 2, , T n n = 2 4 1 3 3 S T T n n n = − （5.2） 由逐次分半算法，我们可依递推公式 方法实际上是对逐次分半算法的改进，又 称逐次分半加速算法。 Romberg 一 Romberg 方法
得出一个新序列{Sn},n=1,2,称为Simpson, 值序列。 这个序列是用T和T,作适当的线性组合而得到的。显 然，它要比“老序列”{T} 的收敛速度快。同样，用 和 作适当的线性组合又可以得到更好的求积公式，这种用 两个相邻的近似公式（其中一个公式是由另一个公式的分 半得到的)的线性组合而得到的更好的近似公式的方法就 是所谓的 求积方法（逐次分半加速法）。形如 (5.2)的公式称为逐次分半加速公式
得出一个新序列 称为 值序列。 这个序列是用 和 作适当的线性组合而得到的。显 然，它要比“老序列” 的收敛速度快。同样，用 和 作适当的线性组合又可以得到更好的求积公式，这种用 两个相邻的近似公式（其中一个公式是由另一个公式的分 半得到的）的线性组合而得到的更好的近似公式的方法就 是所谓的 求积方法（逐次分半加速法）。形如 （5.2）的公式称为逐次分半加速公式。 , 1, 2, , S n n = Simpson T2n Tn Tn n S 2n S Romberg
二、加速公式的一般形式 令 1=["f(x)dx 由复化梯形公式的余项 g门-z-45w 门1-3- 122
二、加速公式的一般形式 令 ( ) b a I f x dx = 由复化梯形公式的余项 3 2 ( ) ( ) 12 T n n b a E f I T f n − = − = − 3 2 2 2 ( ) ( ) 12(2 ) T n n b a E f I T f n − = − = −
可以得到 4En-E≈0 即 4(I-Tn)-(I-Tn)≈0 这就是复化Simpson公式(5.2)
可以得到 4 0 2 T T E E n n − 即 4( ) ( ) 0 2n n I T I T − − − 2 2 4 4 1 4 1 3 3 n n n n T T I T T − = − − 这就是复化 Simpson 公式（5.2）
同样，由复化Simpson公式的误差表达式 E[f]=1-Sn= (b-a) 2880n (, Ef]=1-S.= (b-a) 28802m/(G5 可以得到 4E[f]-E[]≈0 即 (5.3)
同样，由复化 Simpson 公式的误差表达式 5 (4) 4 ( ) ( ), 2880 S n n b a E f I S f n − = − = − 5 (4) 2 2 4 ( ) ( ). 2880(2 ) S n n b a E f I S f n − = − = − 可以得到 2 4 0 2 S S E f E f n n − 即 ( ) 2 2 2 2 4 16 1 5.3 4 1 15 15 n n n n n S S I S S C − = − = −
容易验证(5.3)实际上是复化Cotes公式，即把 区间n等分后，在每个小区间上使有Cots公式的结 果。 依此类推，可以得到一系列逐次分半加速公式， 其一般形式为 X=44 (5.4) 当m=3时，将(5.4)称为Romberg公式，并记为 R21 3-1 4-C 2n (5.5)
n 容易验证 (5.3) 实际上是复化 公式，即把 区间 等分后，在每个小区间上使有 公式的结 果。 CotesCotes 依此类推，可以得到一系列逐次分半加速公式， 其一般形式为 2 . 4 1 4 1 4 1 m n n n m m X Y Y = − − − (5.4) 当 m = 3 时，将(5.4)称为 Romberg 公式，并记为 3 3 3 2 4 1 . 4 1 4 1 R C C n n n = − − − (5.5)
在实际计算时，逐次分半加速法可按如下表格逐行 进行计算。当表中对角线上的最后两相邻元素之差小于 允许误差时，即可停止计算，并取最后的一个元素作为 近似值。 表3.2 27g S C S R
在实际计算时，逐次分半加速法可按如下表格逐行 进行计算。当表中对角线上的最后两相邻元素之差小于 允许误差时，即可停止计算，并取最后的一个元素作为 近似值。 表 3.2 1 2 1 4 2 1 8 4 2 1 T T S T S C T S C R
例3.计算定积分 并使误差不超过0.0001. 解(1)在[1,2]上用梯形公式得 7=L/0+72】-子-07500
例3． 计算定积分 2 1 1 dx, x 解 （1）在 [1, 2] 上用梯形公式得 1 1 3 [ (1) (2)] 0.75000. 2 4 T f f = + = = 并使误差不超过 0.0001
(2)将[1,2]二等分 2 月=/八月-号=0667， 7=2(7+1,)0.70833 =-=0694
（2） 将 [1, 2] 二等分 1 3 2 ( ) 0.66667, 2 3 H f = = 2 1 1 1 ( ) 0.70833, 2 T T H = + 1 2 1 4 1 0.69444. 3 3 S T T = −