第三节 Hermite?插值 一、引言 二、Hermite插值多项式的构造 三、Hermite插值余项 四、小结
第三节 Hermite插值 一、引言 二、Hermite 插值多项式的构造 三、 Hermite 插值余项 四、小结
引言 在实际应用中，有些问题不但要求插值函数在节点 处的值与(x)相等，而且要求插值函数能够光滑地逼 近f(x),因此Larange插值函数往往不能满足实际问题 的需求。这样就需要采取其它方法来构造这种具有一定 平滑程度的插值函数。构造这种插值函数的方法有很多， 最简单的一种方法是Hermite插值法，这种方法不仅要求 提供各插值点的函数值y:而且也给出其导数值。由于所 需要的数据常常不易获得，这种方法不能作为一种插值 技术经常应用。然而，它作为其它数值计算方法的基础 又显的非常重要
一、引言 在实际应用中，有些问题不但要求插值函数在节点 处的值与f（x）相等，而且要求插值函数能够光滑地逼 近f（x），因此Larange插值函数往往不能满足实际问题 的需求。这样就需要采取其它方法来构造这种具有一定 平滑程度的插值函数。构造这种插值函数的方法有很多， 最简单的一种方法是Hermite插值法，这种方法不仅要求 提供各插值点的函数值yi而且也给出其导数值。由于所 需要的数据常常不易获得，这种方法不能作为一种插值 技术经常应用。然而，它作为其它数值计算方法的基础 又显的非常重要
二、Hermite插值多项式的构造 Hermite插值问题的一般提法如下：给出函数f(x)在节点 x(=1,2,…)处的函数值和导数值y和y要求构造一个次数不超 过2n+1次的代数多项式H2m(x)是满足 H(x)=,H(x)=(=0,1,…,n) (4.1 类似于Lagrange插值多项式的构造法，可以设想H(x) 具有如下形式： H)=∑4R+∑B( (4.2)
二、Hermite 插值多项式的构造 Hermite 插值问题的一般提法如下：给出函数 在节点 处的函数值和导数值yi和 ' yi 过 2 1 n + 次的代数多项式 是满足 f (x) x (i n) i =1,2, H (x) 2n+1 ，要求构造一个次数不超 ' ' ( ) , ( ) ( 0,1, , ) H x y H x y i n i i i i = = = (4.1) 类似于Lagrange插值多项式的构造法，可以设想H（x） 具有如下形式： ' 0 0 ( ) ( ) ( ) n n i i i i j j H x A x y B x y = = = + (4.2)
其中A,(x),B,(x)都是2n+1次多项式，且满足条件 A,(x)=0,A(x)=0 (4.3) B,(x)=0,B(x)=6 (4.4)】 显然满足条件(4.3)、(4.4)的多项式(4.2)就是满 足条件(4.1)的2n+1次多项式。 为了构造满足条件(4.3)、4.0的插值多项式4.2)，只需 确定函数A(x)B(x）
其中 ( ), ( ) A x B x j j 都是2 1 n + 次多项式，且满足条件 ' ' ( ) , ( ) 0 ( ) 0, ( ) j i ij j i j i j i ij A x A x B x B x = = = = (4.3) (4.4) 显然满足条件（4.3）、（4.4）的多项式（4.2）就是满 足条件（4.1）的2n+1 次多项式。 为了构造满足条件（4.3）、（4.4）的插值多项式（4.2），只需 确定函数 A (x)B (x) j j
根据条件(4.4)可知，0，X,x,-1,X41,x是B,() 的二重零点，x,是B(x)的一重零点，所以可将B(x)表示为 B(x)=C (x-x)(x-x)(x-x)(x-x((x-x) 由于B,(x)=1,于是有 C,-xx,-xx,-x广-x- 从而得 B()=(-x,(x (4.5)
根据条件（4.4）可知， 是 的二重零点， 的一重零点，所以可将 j j n x , x , x , x , x 0 1 −1 +1 B (x) j B (x) j j x B (x) 是 j 表示为 2 2 2 2 2 0 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B x C x x x x x x x x x x x x j j j j j n = − − − − − − − + 由于 ( ) ' 1, B x j j = 于是有 从而得 2 ( ) ( )[ ( )] B x x x l x j j j = − (4.5) 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j j j n C x x x x x x x x x x − + = − − − − −
根据条件(4.3)可知，xo,x,…X-1X1…X,是4，() 的二重零点，所以A,()具有如下形式 4,)=D,(a+bx---xP代--x)月 不妨取D,=C,于是有 A,(x)=(ax+b)[l,(x)]月 由于A,x,)=1,A)=0,从而得到 x,+b=1 a+2(ax,+b),(x)=0 解上述方程组有 a=-2I,(x),b=1+2x)(x)
根据条件（4.3）可知， 是 的二 重零点，所以 具有如下形式 2 2 2 2 0 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) A x D ax b x x x x x x x x j j j j n − + = + − − − − 不妨取 , D C j j = 于是有 2 ( ) ( )[ ( )] A x ax b l x j j = + 由于 ' ( ) 1, ( ) 0, j A x A x j j j = = 从而得到 ' 1 2( ) ( ) 0 j j j j ax b a ax b l x + = + + = 解上述方程组有 ' ' 2 ( ), 1 2 ( ) j j j j j a l x b x l x = − = + j j n x , x , x , x , x 0 1 −1 +1 A (x) j A (x) j
因此， A,(x)=[1-2(x-x,(x(x) (4.6) 最后得到Hermite插值多项式 月-立1-2-x(c,ey,+x-gey, (47) 特别当n=1时，要求H(x)满足 -0- x-x) x-x (48 +-j-
因此， ' 2 ( ) [1 2( ) ( )] ( ) A x x x l x l x j j j j j = − − (4.6) 最后得到Hermite插值多项式 ' 2 2 ' 2 1 0 0 [1 2( ) ( )] ( ) ( ) ( ) j n n n j j j j j j j j j H x x l x l x y x x l x y + = = = − − + − (4.7) 特别当 n=1 时，要求H3（x）满足 0 2 0 0 1 1 3 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2 2 1 ' ' 0 0 1 1 0 1 1 0 ( ) [1 2 ] [1 2 ] ( ) ( ) x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x − − − − = − + − − − − − − − + − + − − − (4.8)
三、Hermite插值余项 设Hermite插值余项为 R(x)=f(x)-H(x) 显然，R(x,)=f(x)H(x)=0,k=0,1 故R(x)具有n+1个二重零点，于是， R(x)=(x)o2(x) (4.9 其中，a(x)是待定函数，像Lagrange插值余项一样，为确定 函数(x),作辅助函数 F()=f(t)-H()-(x)oi(0）
设 Hermite插值余项为 R x f x H x ( ) = − ( ) ( ) 显然， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0,1. k k k R x f x H x k i i i = − = = 故 R x( )具有n +1个二重零点，于是， 其中， ( x)是待定函数，像 Lagrange 插值余项一样，为确定 函数 ( x)，作辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 F t f t H t x t = − − n+1 三、Hermite插值余项 R(x) (x) (x) n 2 = +1 (4.9)
此处视x为异于节点的一固定点。显然，xF①)的一重零点， 这样，F()至少有n+2个一重零点xxx,,x 据Rolle定理，F()在(a,b)内至少有[(n+)t(n+1)]-=2n+2个（注 意到x,,…,x,是F'(的零点)零点。同理可以推出，F2+()在(a,b) 内至少有一个零点，即存在5∈(a,b),使 F(2+2)(5)=0 即 f2m2(5)-元(x)(2n+2)1=0 于是
此处视x 为异于节点的一固定点。显然，x 为F t( ) 的一重零点， 这样，F t( ) 至少有n + 2 个一重零点 0 1 , , , , n x x x x 据 Rolle 定理，F t ( )在(a b, )内至少有 (n n n + + + = + 1 1 2 2 ) ( ) 个（注 意到 0 1 , , , n x x x 是F t ( )的零点）零点。同理可以推出， ( ) ( ) 2 2 n F t + 在(a b, ) 内至少有一个零点，即存在 (a b, )，使 ( ) ( ) 2 2 0 n F + = 即 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 ! 0 n f x n + − + = 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ! n f x n + = +
将它代入表达式(4.9)，便得到Hermite插值余项。综合以上， 有 定理2设f(x)在[a.b]上2n+2次可微，x,(亿=0,1，…n为一 组互异节点，则对于x=[4.],存在着与 x有关的5∈(a,b), 使得 R(x)=f(x)-H)= f2且26 (2n+2) (4.10 例1、 求作三次式H(x),使满足 Hs (xo)=Yo,H3()=, H5(x)=%,H5(x)= 解： 由Hermite插值公式
将它代入表达式(4.9)，便得到 Hermite插值余项。综合以上， 有 定理2 设 在[a b, ]上2 2 n + 次可微， 为一 组互异节点，则对于 ，存在着与 x 有关的 ， 使得 例 1、 求作三次式H x 3 ( )，使满足 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 3 1 1 3 0 0 3 1 1 , , , , H x y H x y H x y H x y = = = = 解： 由 Hermite 插值公式 f (x) x (i n) i = 0,1, x = [a,b] (a,b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x) n f R x f x H x n n 2 1 2 2 2 2 + + + = − = (4.10)