线性代数综合 练习题 (二)
线 性 代 数 综 合 练 习 题 （二）
填空题 1、四阶方阵A的特征值为 1、3、4、5, 则a,+a2+43十a4= 1A= 2、设A= 小 则存在可逆阵P,使P-1AP=B,其中 D
2、设 1 2 2 3 3 1 A B, = = 则存在可逆阵 P，使 P-1AP=B，其中 P= 。 一、填空题 1、四阶方阵A的特征值为 1、3、4、5， A = 。 11 22 33 44 则a a a a + + + = ；
3、已知四阶行列式D的第三行 元素分别为-1,3,2,0，第 二行元素的余子式依次为5， -2,4,4,则4= 解：因为行列式第三行元素与第二 行元素对应的代数余子式乘积之和 为零，所以有 (-1)x(-5)+3x(-2)+2(-a+0x4=0 解得a=
3、已知四阶行列式D的第三行 元素分别为 -1，3，2，0，第 二行元素的余子式依次为5， -2， a ，4，则 a = 。 解：因为行列式第三行元素与第二 行元素对应的代数余子式乘积之和 为零，所以有 （ ）（ ） （ ） （ ） − − + − + − + = 1 5 3 2 2 0 4 0 a 解得 1 2 a = −
4、已知A是满秩方阵，且 123 AB= 2 4 3 6 则B的秩为 解：因为A为满秩矩阵，所以A可以写成有限个初等 矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B,相当 于对矩阵B进行了有限次初等行变换，而初等变换 不改变矩阵的秩，所以矩阵B的秩等于AB的秩。而 AB的秩为1，所以B的秩为1
1 2 3 2 4 6 , 3 6 9 AB = A 则 B 的秩为 。 4、已知 是满秩方阵，且 解：因为A为满秩矩阵，所以A可以写成有限个初等 矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B，相当 于对矩阵B进行了有限次初等行变换，而初等变换 不改变矩阵的秩，所以矩阵B的秩等于AB的秩。而 AB的秩为1，所以B的秩为1
5、设1是实对称阵A的一个 特征值，且B=-A， 则|B|= 解：B=A3-A=A(AE)(A+E》 B=A 4-E 4+E 又因为1是实对称矩阵A的一个特征值， A-E=0B=0
5、设1是实对称阵 的一个 特征值，且 ， 3 B A A = − 则 B = 。 A 解： ( )( A E+ ) 3 B=A -A=A A-E = − + B A A E A E 又因为1是实对称矩阵A的一个特征值， − = = A E B 0 0
选择题 1、设a1,a2,a3线性无关， 则下列向量组线性相关的是 ( ); (a1-a2,a2-a3,a3-a (B)、a1+a2,a2+a3,41+a (C)a,a1+a2,a1+a3 (D)八a1,a2,4a3-a4
二、选择题 1 2 3 1、设 a a a , , 线性无关， 则下列向量组线性相关的是 （ ）； 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 1 3 1 1 2 1 3 1 2 3 1 ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , A a a a a a a B a a a a a a C a a a a a D a a a a − − − + + + + + − 、 、 、
解；设一组数飞1，k2,飞使 k(a-a)+k(a2-a,)+k(a-a)=0 (k-k)a+(-k+k)a2+(-k+k3)a=0 ,C1,C2,C3线性无关，所以 ∫4-)-0 (-k,+k2)=0 (-k2+k3)=0 解得k1=k2=飞3 令人=人2=k3=1则有一组不全为零的数使 (C%-c2+(C2-x)+(a3-c)=0 所以选(A)
解；设一组数 k k k 1 2 3 , , 使 1 1 2 2 2 3 3 3 1 k k k ( ) ( ) ( ) 0 − + − + − = 1 3 1 1 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) 0 k k k k k k − + − + + − + = 1 2 3 , , 线性无关，所以 1 3 1 2 2 3 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 k k k k k k − = − + = − + = 解得 1 2 3 k k k = = 1 2 2 3 3 1 ( ) ( ) ( ) 0 − + − + − = 1 2 3 令 k k k = = =1 则有一组不全为零的数使 所以选（A）
2、设A是n阶矩阵，且A的行列 式1A=0,则A中 (A)必有一列元素为零： (B)必有两列元素对应成比例； (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合： (D)任一列向量是其余列向量的线性组合。 解：由4=O,可知，A的列向量组是线性相关的 所以其中至少有一个列向量可由其余列向量线性表 示，因此选(C)
2、设A是n阶矩阵，且A的行列 式 A = 0, 则A中 ； （A）必有一列元素为零； （B）必有两列元素对应成比例； （C）必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D）任一列向量是其余列向量的线性组合。 解：由 可知，A的列向量组是线性相关的， 所以其中至少有一个列向量可由其余列向量线性表 示，因此选（C）。 A = 0
3、设A,B均是n阶正交阵，若 A+B=O,则 A+B必为( (A)、初等阵；B)、正交阵： (C)、对称阵；D)、奇异阵。 解：，A(A+B)B=B1+A .(A+B)=(B1+A1)B ..A(A+B)=(B+A)B 层 .(A-BA+B=0.A+B=0 A-B≠0.A+B=0选(D)
3、设A,B均是n阶正交阵,若 则 A+B必为( ) A B + = 0, (A)、初等阵； (B)、正交阵； (C)、对称阵； (D)、奇异阵。 解： 1 1 1 1 A A B B B A ( ) − − − − + = + 1 1 1 A A B B A B ( ) ( ) − − − + = + 1 1 1 1 1 1 1 1 A A B B A B ( ) ( ) A A B B A B B A B − − − − − − − − + = + + = + = + 1 1 , , ( ) 0 0 0 0 T T T A A B B A A A B A B A B A B A B = = = − − − + = + = − + = 选（D）
4、 已知 1 2 3 A= 2 4 6 3 6 P= 则B=( (A)、AP2P: (B)、APP; (C)、PPA; (D)、PPA 解：选(C
4、已知 1 2 0 1 0 , 1 0 0 , 1 0 1 0 0 1 P P = = 1 0 0 0 1 0 2 4 6 1 2 3 , 3 6 9 4 8 12 B = 1 2 3 2 4 6 A= ， 1 2 1 ( ) ; ( ) ; A P C P P A 、AP2 、 2 1 2 ( ) ; ( ) B P D PP A 、AP1 、 。 则 B = ( ) 解：选（C）