吉林大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 44-5-1 §1 向量的内积

四.规范正交基（标准正交基 1.规范正交基的概念 定义3设n维向量e,e2,…,e,是向量空间VVcR 的个基如果L,e2,,e,是两两正交的单位向量则称 C,2,·,E,是向量空间的一个规范正交基 显然若C,e2,…,C,是的一个规范正交基。 则 se小-& i=j

四.规范正交基(标准正交基) 1.规范正交基的概念 定义3 设 n 维向量 是向量空间V 的一个基,如果 是两两正交的单位向量,则称 e e er 是向量空间V的一个规范正交基. , ,  , 1 2 ( ) n V  R r e ,e ,  ,e 1 2 r e ,e ,  ,e 1 2 显然,若 e1 ,e2 ,  ,er 是V的一个规范正交基。 则       = = i j i j ei e j 0 1

例如 e 5150 U01 e e3= 515 万1万 由于 ,]={d (iF1,2,3,4) 所以e,e2,e3,L4是R4的一个规范正交基

例如:                   = 0 0 2 1 2 1 e1 ,                   = − 0 0 2 1 2 1 2 e                   = 2 1 2 1 0 0 3 e                   − = 2 1 2 1 0 0 4 e 由于       = = i j i j ei e j 0 1 , (i,j=1,2,3,4) 1 2 3 4 所以 e ,e ,e ,e 是 R 4 的一个规范正交基

2.向量的坐标 设e,e2,…,en是V的一个规范正交基，那么V中任何一 向量a=(x,x2,…,xn)应能由e,e2,…,em 线性表示， 表示法为 a=x1e1+x2e2+…+xmen 为求表示法中的系数x,可用e,与a作内积(l,2,,n) [a,e]=[xe +xe+.+xeme] =x[e,e,]=x, 称X1,X2,…,Xn是a在基e,e2,,en下的坐标

2.向量的坐标 设 是V的一个规范正交基,那么V中任何一 向量 应能由 线性表示, 表示法为 n e ,e ,  ,e 1 2 ( ) n x ,x ,  ,x  = 1 2 n e ,e ,  ,e 1 2  = 为求表示法中的系数 xi ,可用 与α作内积 ( i=1,2, …, n ) , 称 是 i e n x ,x ,  ,x 1 2 α 在基 n e ,e ,  ,e 1 2 下的坐标。 ,ei  = 1 1 2 2 n n x x x e e e + + + x x x 1 1 2 2 e e e e + + + n n i ,  =xi [ei ,ei ] = xi

3.施密特标准正交化 设C,C,,C,是向量空间V的一个基， 令b=C b b=&2-[c2,e]e, b e2= b=&-[c,e]e-[,e]e, 天b b,=a,-[a,e]g--[c,e,-]e,-,e, b b, 可以证明，C,C2,·,e,是两两正交的单位向量。 故C1,e2,…,C,是V的一个规范正交基

3.施密特标准正交化 设 是向量空间V的一个基， 令 1 1 1 b b e = 2 2 2 b b e = 3 3 3 b b ,e = …………………………… … r r r b b e = 可以证明, r e ,e ,  ,e 1 2 是两两正交的单位向量。 故 r e ,e ,  ,e 1 2 是V 的一个规范正交基。 1 2 , , ,   r b e e e e r r r r r r = − − −     , , , 1 1 1 1   − −  1 1 b = , b e e 2 2 2 1 1 = −   , ,  b e e e e 3 3 3 1 1 3 2 2 = − −     , , ,   

例2设 s N; 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。 解取 b=a;

例2 设 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。 解 取           − = = 1 2 1 6 1 1 1 1 b b e 1 1 2 , 1      =       − 2 1 3 , 1    −   =       3 4 1 , 0      = −      1 1 b = ;

b=&-[a,e]e =a-a1

          − −          − = 1 2 1 6 4 1 3 1          − = 1 1 1 3 5          − = = 1 1 1 3 1 2 2 2 b b e b e e 2 2 2 1 1 = −   ,  1 1 2 2 1 1 , b b b b     = −       2 1 1  2 2 1 ,b b b  = − 

h=a-laAlh-lo4h Ibb明 胡 b3 故e,e2,e3即合所求

         − +           − −           = − 1 1 1 3 5 1 2 1 3 1 0 1 4           = 1 0 1 2           = = 1 0 1 2 1 3 3 3 b b e 故 1 2 3 e ,e ,e 即合所求。  3 1 3 2    3 3 1 2 2 2 1 2 , , b b b b b b b   = − − 

例3已知a,=(1,1,I,求非零向量a1,a2,使a3 与a1,a2正交，并把它们化成R的规范正交基。 解：a1,a2应满足a3Tx=0的非零解，即 X十X2+X3=0 swe间

例3 已知 , 求非零向量α1，α2，使α3 与α1，α2正交,并把它们化成R3的规范正交基。 解: α1，α2应满足α3 Tx = 0的非零解,即 x1 + x2 + x3 = 0 它的基础解系为           − =           − = 1 1 0 1 0 1 1 2  , ( ) T 3 = 1,1,1

令a=51,C%2=52 则a3与a1,a2正交，显然a1与a2线性无关， 因此可用 施密特标准正交化 取，=a,则e=

令 因此可用 施密特标准正交化. ,           − = = 1 0 1 2 1 1 1 1 b b 则e 1 1 2 2     = = , , 则 α3 与α1 ,α2正交,显然α1与α2 线性无关, 取b1 = α1

取b,=a-[a,e]%= 再把a3单位化，得e= 故e,e2,e即为R3一个规范正交基

              − − = 2 1 1 2 1           − − = = 1 2 1 2 1 2 2 2 b b 则e 故 , , 即为 一个规范正交基. 3 e1 e2 e3 R 再把 α3单位化，得 取b e e 2 2 2 1 1 = −   ,  3 3 3 1 1 1 , 3 1 e       = =      